Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58923 / 89197
↖ ↑ ↗
← S 54.337345°
W 18.163147°		 ← 178.07 m → S 54.337345°
W 18.160400°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 54.338947°
W 18.163147°		 ← 178.06 m →
31 708 m²		 S 54.338947°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449550628662109 y=0.680522918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449550628662109 × 217)
    floor (0.449550628662109 × 131072)
    floor (58923.5)     		tx = 58923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680522918701172 × 217)
    floor (0.680522918701172 × 131072)
    floor (89197.5)     		ty = 89197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58923 / 89197 ti = "17/58923/89197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58923/89197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58923 ÷ 217
    58923 ÷ 131072     		x = 0.449546813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89197 ÷ 217
    89197 ÷ 131072     		y = 0.680519104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449546813964844 × 2 - 1) × π
    -0.100906372070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31700672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680519104003906 × 2 - 1) × π
    -0.361038208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.13423498191015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31700672} λ = -0.31700672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13423498191015))-π/2
    2×atan(0.321668109152259)-π/2
    2×0.311215372476054-π/2
    0.622430744952109-1.57079632675     		φ = -0.94836558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31700672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.163147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94836558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.337345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58923 KachelY 89197 -0.31700672 -0.94836558 -18.163147 -54.337345
    Oben rechts KachelX + 1 58924 KachelY 89197 -0.31695878 -0.94836558 -18.160400 -54.337345
    Unten links KachelX 58923 KachelY + 1 89198 -0.31700672 -0.94839353 -18.163147 -54.338947
    Unten rechts KachelX + 1 58924 KachelY + 1 89198 -0.31695878 -0.94839353 -18.160400 -54.338947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94836558--0.94839353) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94836558--0.94839353) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31700672--0.31695878) × cos(-0.94836558) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583011774508113 × 6371000     		do = 178.066802657943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31700672--0.31695878) × cos(-0.94839353) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582989065919856 × 6371000     		du = 178.05986687057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94836558)-sin(-0.94839353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583011774508113-0.582989065919856)×R²
    abs(-0.31695878--0.31700672)×2.27085882570366e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27085882570366e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27085882570366e-05×40589641000000     		ar = 31707.6400886896m²