Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58923 / 87103
↖ ↑ ↗
← S 50.845839°
W 18.163147°		 ← 192.85 m → S 50.845839°
W 18.160400°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
S 50.847573°
W 18.163147°		 ← 192.84 m →
37 178 m²		 S 50.847573°
W 18.160400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449550628662109 y=0.664546966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449550628662109 × 217)
    floor (0.449550628662109 × 131072)
    floor (58923.5)     		tx = 58923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664546966552734 × 217)
    floor (0.664546966552734 × 131072)
    floor (87103.5)     		ty = 87103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58923 / 87103 ti = "17/58923/87103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58923/87103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58923 ÷ 217
    58923 ÷ 131072     		x = 0.449546813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87103 ÷ 217
    87103 ÷ 131072     		y = 0.664543151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449546813964844 × 2 - 1) × π
    -0.100906372070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31700672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664543151855469 × 2 - 1) × π
    -0.329086303710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03385511410575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31700672} λ = -0.31700672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03385511410575))-π/2
    2×atan(0.355633307495534)-π/2
    2×0.341684514678559-π/2
    0.683369029357118-1.57079632675     		φ = -0.88742730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31700672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.163147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88742730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.845839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58923 KachelY 87103 -0.31700672 -0.88742730 -18.163147 -50.845839
    Oben rechts KachelX + 1 58924 KachelY 87103 -0.31695878 -0.88742730 -18.160400 -50.845839
    Unten links KachelX 58923 KachelY + 1 87104 -0.31700672 -0.88745756 -18.163147 -50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 58924 KachelY + 1 87104 -0.31695878 -0.88745756 -18.160400 -50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88742730--0.88745756) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dl = 192.786459999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88742730--0.88745756) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dr = 192.786459999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31700672--0.31695878) × cos(-0.88742730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631409113882828 × 6371000     		do = 192.848595850504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31700672--0.31695878) × cos(-0.88745756) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 192.841428912511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88742730)-sin(-0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631409113882828-0.6313856484801)×R²
    abs(-0.31695878--0.31700672)×2.3465402728795e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3465402728795e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3465402728795e-05×40589641000000     		ar = 37177.9072684499m²