Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58921 / 86949
↖ ↑ ↗
← S 50.578005°
W 18.168640°		 ← 193.95 m → S 50.578005°
W 18.165893°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.579749°
W 18.168640°		 ← 193.95 m →
37 613 m²		 S 50.579749°
W 18.165893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449535369873047 y=0.663372039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449535369873047 × 217)
    floor (0.449535369873047 × 131072)
    floor (58921.5)     		tx = 58921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663372039794922 × 217)
    floor (0.663372039794922 × 131072)
    floor (86949.5)     		ty = 86949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58921 / 86949 ti = "17/58921/86949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58921/86949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58921 ÷ 217
    58921 ÷ 131072     		x = 0.449531555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86949 ÷ 217
    86949 ÷ 131072     		y = 0.663368225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449531555175781 × 2 - 1) × π
    -0.100936889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.31710259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663368225097656 × 2 - 1) × π
    -0.326736450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02647283156426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31710259} λ = -0.31710259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02647283156426))-π/2
    2×atan(0.358268407612106)-π/2
    2×0.344021810095193-π/2
    0.688043620190385-1.57079632675     		φ = -0.88275271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31710259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.168640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88275271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.578005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58921 KachelY 86949 -0.31710259 -0.88275271 -18.168640 -50.578005
    Oben rechts KachelX + 1 58922 KachelY 86949 -0.31705465 -0.88275271 -18.165893 -50.578005
    Unten links KachelX 58921 KachelY + 1 86950 -0.31710259 -0.88278315 -18.168640 -50.579749
    Unten rechts KachelX + 1 58922 KachelY + 1 86950 -0.31705465 -0.88278315 -18.165893 -50.579749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88275271--0.88278315) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88275271--0.88278315) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31710259--0.31705465) × cos(-0.88275271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635027112281696 × 6371000     		do = 193.953625688798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31710259--0.31705465) × cos(-0.88278315) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		du = 193.946443637583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88275271)-sin(-0.88278315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635027112281696-0.635003597396493)×R²
    abs(-0.31705465--0.31710259)×2.35148852032463e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35148852032463e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35148852032463e-05×40589641000000     		ar = 37613.3586233153m²