Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58920 / 89339
↖ ↑ ↗
← S 54.564100°
W 18.171387°		 ← 177.08 m → S 54.564100°
W 18.168640°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
S 54.565692°
W 18.171387°		 ← 177.08 m →
31 352 m²		 S 54.565692°
W 18.168640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449527740478516 y=0.681606292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449527740478516 × 217)
    floor (0.449527740478516 × 131072)
    floor (58920.5)     		tx = 58920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681606292724609 × 217)
    floor (0.681606292724609 × 131072)
    floor (89339.5)     		ty = 89339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58920 / 89339 ti = "17/58920/89339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58920/89339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58920 ÷ 217
    58920 ÷ 131072     		x = 0.44952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89339 ÷ 217
    89339 ÷ 131072     		y = 0.681602478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681602478027344 × 2 - 1) × π
    -0.363204956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.1410420216562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31715053} λ = -0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1410420216562))-π/2
    2×atan(0.319485937040421)-π/2
    2×0.309236562428674-π/2
    0.618473124857349-1.57079632675     		φ = -0.95232320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95232320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.564100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58920 KachelY 89339 -0.31715053 -0.95232320 -18.171387 -54.564100
    Oben rechts KachelX + 1 58921 KachelY 89339 -0.31710259 -0.95232320 -18.168640 -54.564100
    Unten links KachelX 58920 KachelY + 1 89340 -0.31715053 -0.95235099 -18.171387 -54.565692
    Unten rechts KachelX + 1 58921 KachelY + 1 89340 -0.31710259 -0.95235099 -18.168640 -54.565692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95232320--0.95235099) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dl = 177.050089999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95232320--0.95235099) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dr = 177.050089999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31715053--0.31710259) × cos(-0.95232320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579791794516829 × 6371000     		do = 177.083337886114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31715053--0.31710259) × cos(-0.95235099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579769151982642 × 6371000     		du = 177.076422273355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95232320)-sin(-0.95235099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579791794516829-0.579769151982642)×R²
    abs(-0.31710259--0.31715053)×2.2642534186712e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2642534186712e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2642534186712e-05×40589641000000     		ar = 31352.0087072212m²