Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58918 / 86926
↖ ↑ ↗
← S 50.537872°
W 18.176880°		 ← 194.12 m → S 50.537872°
W 18.174133°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 50.539618°
W 18.176880°		 ← 194.11 m →
37 683 m²		 S 50.539618°
W 18.174133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449512481689453 y=0.663196563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449512481689453 × 217)
    floor (0.449512481689453 × 131072)
    floor (58918.5)     		tx = 58918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663196563720703 × 217)
    floor (0.663196563720703 × 131072)
    floor (86926.5)     		ty = 86926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58918 / 86926 ti = "17/58918/86926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58918/86926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58918 ÷ 217
    58918 ÷ 131072     		x = 0.449508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86926 ÷ 217
    86926 ÷ 131072     		y = 0.663192749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449508666992188 × 2 - 1) × π
    -0.100982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31724640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663192749023438 × 2 - 1) × π
    -0.326385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.025370282873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31724640} λ = -0.31724640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.025370282873))-π/2
    2×atan(0.358663633814068)-π/2
    2×0.344372033346543-π/2
    0.688744066693086-1.57079632675     		φ = -0.88205226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31724640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.176880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88205226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.537872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58918 KachelY 86926 -0.31724640 -0.88205226 -18.176880 -50.537872
    Oben rechts KachelX + 1 58919 KachelY 86926 -0.31719846 -0.88205226 -18.174133 -50.537872
    Unten links KachelX 58918 KachelY + 1 86927 -0.31724640 -0.88208273 -18.176880 -50.539618
    Unten rechts KachelX + 1 58919 KachelY + 1 86927 -0.31719846 -0.88208273 -18.174133 -50.539618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88205226--0.88208273) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88205226--0.88208273) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31724640--0.31719846) × cos(-0.88205226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635568046970384 × 6371000     		do = 194.118841066157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31724640--0.31719846) × cos(-0.88208273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635544522468628 × 6371000     		du = 194.1116560778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88205226)-sin(-0.88208273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635568046970384-0.635544522468628)×R²
    abs(-0.31719846--0.31724640)×2.35245017563557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35245017563557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35245017563557e-05×40589641000000     		ar = 37682.5003393758m²