Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58913 / 89195
↖ ↑ ↗
← S 54.334142°
W 18.190613°		 ← 178.08 m → S 54.334142°
W 18.187866°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 54.335744°
W 18.190613°		 ← 178.07 m →
31 710 m²		 S 54.335744°
W 18.187866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449474334716797 y=0.680507659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449474334716797 × 217)
    floor (0.449474334716797 × 131072)
    floor (58913.5)     		tx = 58913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680507659912109 × 217)
    floor (0.680507659912109 × 131072)
    floor (89195.5)     		ty = 89195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58913 / 89195 ti = "17/58913/89195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58913/89195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58913 ÷ 217
    58913 ÷ 131072     		x = 0.449470520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89195 ÷ 217
    89195 ÷ 131072     		y = 0.680503845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449470520019531 × 2 - 1) × π
    -0.101058959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31748609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680503845214844 × 2 - 1) × π
    -0.361007690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.13413910811091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31748609} λ = -0.31748609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13413910811091))-π/2
    2×atan(0.321698950174377)-π/2
    2×0.31124332134139-π/2
    0.62248664268278-1.57079632675     		φ = -0.94830968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31748609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.190613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94830968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.334142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58913 KachelY 89195 -0.31748609 -0.94830968 -18.190613 -54.334142
    Oben rechts KachelX + 1 58914 KachelY 89195 -0.31743815 -0.94830968 -18.187866 -54.334142
    Unten links KachelX 58913 KachelY + 1 89196 -0.31748609 -0.94833763 -18.190613 -54.335744
    Unten rechts KachelX + 1 58914 KachelY + 1 89196 -0.31743815 -0.94833763 -18.187866 -54.335744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94830968--0.94833763) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94830968--0.94833763) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31748609--0.31743815) × cos(-0.94830968) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583057190318258 × 6371000     		do = 178.080673815364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31748609--0.31743815) × cos(-0.94833763) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58303448264092 × 6371000     		du = 178.073738306209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94830968)-sin(-0.94833763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583057190318258-0.58303448264092)×R²
    abs(-0.31743815--0.31748609)×2.27076773388069e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27076773388069e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27076773388069e-05×40589641000000     		ar = 31710.1101429985m²