Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58912 / 89194
↖ ↑ ↗
← S 54.332541°
W 18.193359°		 ← 178.05 m → S 54.332541°
W 18.190613°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 54.334142°
W 18.193359°		 ← 178.04 m →
31 705 m²		 S 54.334142°
W 18.190613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449466705322266 y=0.680500030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449466705322266 × 217)
    floor (0.449466705322266 × 131072)
    floor (58912.5)     		tx = 58912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680500030517578 × 217)
    floor (0.680500030517578 × 131072)
    floor (89194.5)     		ty = 89194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58912 / 89194 ti = "17/58912/89194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58912/89194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58912 ÷ 217
    58912 ÷ 131072     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89194 ÷ 217
    89194 ÷ 131072     		y = 0.680496215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680496215820312 × 2 - 1) × π
    -0.360992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13409117121129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13409117121129))-π/2
    2×atan(0.321714371794289)-π/2
    2×0.311257296590445-π/2
    0.62251459318089-1.57079632675     		φ = -0.94828173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94828173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.332541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58912 KachelY 89194 -0.31753402 -0.94828173 -18.193359 -54.332541
    Oben rechts KachelX + 1 58913 KachelY 89194 -0.31748609 -0.94828173 -18.190613 -54.332541
    Unten links KachelX 58912 KachelY + 1 89195 -0.31753402 -0.94830968 -18.193359 -54.334142
    Unten rechts KachelX + 1 58913 KachelY + 1 89195 -0.31748609 -0.94830968 -18.190613 -54.334142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94828173--0.94830968) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94828173--0.94830968) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31748609) × cos(-0.94828173) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.583079897540111 × 6371000     		do = 178.050461164943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31748609) × cos(-0.94830968) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.583057190318258 × 6371000     		du = 178.043527241583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94828173)-sin(-0.94830968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583079897540111-0.583057190318258)×R²
    abs(-0.31748609--0.31753402)×2.27072218530466e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27072218530466e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27072218530466e-05×40589641000000     		ar = 31704.7303339034m²