Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58909 / 87621
↖ ↑ ↗
← S 51.735534°
W 18.201599°		 ← 189.11 m → S 51.735534°
W 18.198853°		 →
↑
189.15 m
↓
↑
189.15 m
↓
S 51.737235°
W 18.201599°		 ← 189.10 m →
35 770 m²		 S 51.737235°
W 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449443817138672 y=0.668498992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449443817138672 × 217)
    floor (0.449443817138672 × 131072)
    floor (58909.5)     		tx = 58909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668498992919922 × 217)
    floor (0.668498992919922 × 131072)
    floor (87621.5)     		ty = 87621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58909 / 87621 ti = "17/58909/87621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58909/87621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58909 ÷ 217
    58909 ÷ 131072     		x = 0.449440002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87621 ÷ 217
    87621 ÷ 131072     		y = 0.668495178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449440002441406 × 2 - 1) × π
    -0.101119995117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31767783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668495178222656 × 2 - 1) × π
    -0.336990356445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.05868642810894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31767783} λ = -0.31767783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05868642810894))-π/2
    2×atan(0.346911203974666)-π/2
    2×0.333920462245629-π/2
    0.667840924491257-1.57079632675     		φ = -0.90295540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31767783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.201599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90295540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.735534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58909 KachelY 87621 -0.31767783 -0.90295540 -18.201599 -51.735534
    Oben rechts KachelX + 1 58910 KachelY 87621 -0.31762990 -0.90295540 -18.198853 -51.735534
    Unten links KachelX 58909 KachelY + 1 87622 -0.31767783 -0.90298509 -18.201599 -51.737235
    Unten rechts KachelX + 1 58910 KachelY + 1 87622 -0.31762990 -0.90298509 -18.198853 -51.737235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90295540--0.90298509) × R
    2.96900000000822e-05 × 6371000     		dl = 189.154990000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90295540--0.90298509) × R
    2.96900000000822e-05 × 6371000     		dr = 189.154990000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31767783--0.31762990) × cos(-0.90295540) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.619292212602325 × 6371000     		do = 189.108327203334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31767783--0.31762990) × cos(-0.90298509) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.619268900911396 × 6371000     		du = 189.10120869807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90295540)-sin(-0.90298509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619292212602325-0.619268900911396)×R²
    abs(-0.31762990--0.31767783)×2.33116909282849e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33116909282849e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33116909282849e-05×40589641000000     		ar = 35770.1104933893m²