Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58907 / 89291
↖ ↑ ↗
← S 54.487591°
W 18.207092°		 ← 177.42 m → S 54.487591°
W 18.204346°		 →
↑
177.37 m
↓
↑
177.37 m
↓
S 54.489186°
W 18.207092°		 ← 177.41 m →
31 467 m²		 S 54.489186°
W 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449428558349609 y=0.681240081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449428558349609 × 217)
    floor (0.449428558349609 × 131072)
    floor (58907.5)     		tx = 58907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681240081787109 × 217)
    floor (0.681240081787109 × 131072)
    floor (89291.5)     		ty = 89291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58907 / 89291 ti = "17/58907/89291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58907/89291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58907 ÷ 217
    58907 ÷ 131072     		x = 0.449424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89291 ÷ 217
    89291 ÷ 131072     		y = 0.681236267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449424743652344 × 2 - 1) × π
    -0.101150512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31777371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681236267089844 × 2 - 1) × π
    -0.362472534179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.13874105047443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31777371} λ = -0.31777371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13874105047443))-π/2
    2×atan(0.320221911377684)-π/2
    2×0.309904229993361-π/2
    0.619808459986721-1.57079632675     		φ = -0.95098787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31777371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.207092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95098787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.487591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58907 KachelY 89291 -0.31777371 -0.95098787 -18.207092 -54.487591
    Oben rechts KachelX + 1 58908 KachelY 89291 -0.31772577 -0.95098787 -18.204346 -54.487591
    Unten links KachelX 58907 KachelY + 1 89292 -0.31777371 -0.95101571 -18.207092 -54.489186
    Unten rechts KachelX + 1 58908 KachelY + 1 89292 -0.31772577 -0.95101571 -18.204346 -54.489186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95098787--0.95101571) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dl = 177.368640000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95098787--0.95101571) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dr = 177.368640000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31777371--0.31772577) × cos(-0.95098787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580879256991363 × 6371000     		do = 177.415476917121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31777371--0.31772577) × cos(-0.95101571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		du = 177.408555450833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95098787)-sin(-0.95101571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580879256991363-0.580856595292032)×R²
    abs(-0.31772577--0.31777371)×2.26616993311834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26616993311834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26616993311834e-05×40589641000000     		ar = 31467.3280320962m²