Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58903 / 88977
↖ ↑ ↗
← S 53.983550°
W 18.218079°		 ← 179.60 m → S 53.983550°
W 18.215332°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
S 53.985165°
W 18.218079°		 ← 179.59 m →
32 254 m²		 S 53.985165°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449398040771484 y=0.678844451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449398040771484 × 217)
    floor (0.449398040771484 × 131072)
    floor (58903.5)     		tx = 58903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678844451904297 × 217)
    floor (0.678844451904297 × 131072)
    floor (88977.5)     		ty = 88977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58903 / 88977 ti = "17/58903/88977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58903/88977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58903 ÷ 217
    58903 ÷ 131072     		x = 0.449394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88977 ÷ 217
    88977 ÷ 131072     		y = 0.678840637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449394226074219 × 2 - 1) × π
    -0.101211547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31796546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678840637207031 × 2 - 1) × π
    -0.357681274414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.12368886399374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31796546} λ = -0.31796546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12368886399374))-π/2
    2×atan(0.32507841007122)-π/2
    2×0.314302816677443-π/2
    0.628605633354886-1.57079632675     		φ = -0.94219069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31796546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94219069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.983550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58903 KachelY 88977 -0.31796546 -0.94219069 -18.218079 -53.983550
    Oben rechts KachelX + 1 58904 KachelY 88977 -0.31791752 -0.94219069 -18.215332 -53.983550
    Unten links KachelX 58903 KachelY + 1 88978 -0.31796546 -0.94221888 -18.218079 -53.985165
    Unten rechts KachelX + 1 58904 KachelY + 1 88978 -0.31791752 -0.94221888 -18.215332 -53.985165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94219069--0.94221888) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94219069--0.94221888) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(-0.94219069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.588017501759174 × 6371000     		do = 179.595680607629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(-0.94221888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587994700094655 × 6371000     		du = 179.58871639237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94219069)-sin(-0.94221888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588017501759174-0.587994700094655)×R²
    abs(-0.31791752--0.31796546)×2.28016645184015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28016645184015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28016645184015e-05×40589641000000     		ar = 32254.487668513m²