Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58903 / 87255
↖ ↑ ↗
← S 51.108695°
W 18.218079°		 ← 191.76 m → S 51.108695°
W 18.215332°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
S 51.110420°
W 18.218079°		 ← 191.75 m →
36 773 m²		 S 51.110420°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449398040771484 y=0.665706634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449398040771484 × 217)
    floor (0.449398040771484 × 131072)
    floor (58903.5)     		tx = 58903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665706634521484 × 217)
    floor (0.665706634521484 × 131072)
    floor (87255.5)     		ty = 87255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58903 / 87255 ti = "17/58903/87255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58903/87255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58903 ÷ 217
    58903 ÷ 131072     		x = 0.449394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87255 ÷ 217
    87255 ÷ 131072     		y = 0.665702819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449394226074219 × 2 - 1) × π
    -0.101211547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31796546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665702819824219 × 2 - 1) × π
    -0.331405639648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.041141522848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31796546} λ = -0.31796546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.041141522848))-π/2
    2×atan(0.353051435564866)-π/2
    2×0.339390656840253-π/2
    0.678781313680505-1.57079632675     		φ = -0.89201501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31796546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89201501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.108695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58903 KachelY 87255 -0.31796546 -0.89201501 -18.218079 -51.108695
    Oben rechts KachelX + 1 58904 KachelY 87255 -0.31791752 -0.89201501 -18.215332 -51.108695
    Unten links KachelX 58903 KachelY + 1 87256 -0.31796546 -0.89204511 -18.218079 -51.110420
    Unten rechts KachelX + 1 58904 KachelY + 1 87256 -0.31791752 -0.89204511 -18.215332 -51.110420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89201501--0.89204511) × R
    3.00999999999219e-05 × 6371000     		dl = 191.767099999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89201501--0.89204511) × R
    3.00999999999219e-05 × 6371000     		dr = 191.767099999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(-0.89201501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627844942501838 × 6371000     		do = 191.760006168756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(-0.89204511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627821514230362 × 6371000     		du = 191.752850571603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89201501)-sin(-0.89204511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627844942501838-0.627821514230362)×R²
    abs(-0.31791752--0.31796546)×2.34282714765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34282714765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34282714765e-05×40589641000000     		ar = 36772.5741775238m²