Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58902 / 89057
↖ ↑ ↗
← S 54.112553°
W 18.220825°		 ← 179 m → S 54.112553°
W 18.218079°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 54.114163°
W 18.220825°		 ← 178.99 m →
32 045 m²		 S 54.114163°
W 18.218079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449390411376953 y=0.679454803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449390411376953 × 217)
    floor (0.449390411376953 × 131072)
    floor (58902.5)     		tx = 58902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679454803466797 × 217)
    floor (0.679454803466797 × 131072)
    floor (89057.5)     		ty = 89057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58902 / 89057 ti = "17/58902/89057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58902/89057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58902 ÷ 217
    58902 ÷ 131072     		x = 0.449386596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89057 ÷ 217
    89057 ÷ 131072     		y = 0.679450988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679450988769531 × 2 - 1) × π
    -0.358901977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.12752381596334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31801339} λ = -0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12752381596334))-π/2
    2×atan(0.323834137370209)-π/2
    2×0.313177055097083-π/2
    0.626354110194166-1.57079632675     		φ = -0.94444222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94444222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.112553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58902 KachelY 89057 -0.31801339 -0.94444222 -18.220825 -54.112553
    Oben rechts KachelX + 1 58903 KachelY 89057 -0.31796546 -0.94444222 -18.218079 -54.112553
    Unten links KachelX 58902 KachelY + 1 89058 -0.31801339 -0.94447032 -18.220825 -54.114163
    Unten rechts KachelX + 1 58903 KachelY + 1 89058 -0.31796546 -0.94447032 -18.218079 -54.114163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94444222--0.94447032) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94444222--0.94447032) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(-0.94444222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586194866856782 × 6371000     		do = 179.001654519076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(-0.94447032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586172100845766 × 6371000     		du = 178.994702643737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94444222)-sin(-0.94447032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586194866856782-0.586172100845766)×R²
    abs(-0.31796546--0.31801339)×2.27660110165839e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27660110165839e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27660110165839e-05×40589641000000     		ar = 32045.1668225756m²