Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58902 / 88982
↖ ↑ ↗
← S 53.991625°
W 18.220825°		 ← 179.52 m → S 53.991625°
W 18.218079°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 53.993239°
W 18.220825°		 ← 179.52 m →
32 230 m²		 S 53.993239°
W 18.218079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449390411376953 y=0.678882598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449390411376953 × 217)
    floor (0.449390411376953 × 131072)
    floor (58902.5)     		tx = 58902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678882598876953 × 217)
    floor (0.678882598876953 × 131072)
    floor (88982.5)     		ty = 88982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58902 / 88982 ti = "17/58902/88982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58902/88982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58902 ÷ 217
    58902 ÷ 131072     		x = 0.449386596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88982 ÷ 217
    88982 ÷ 131072     		y = 0.678878784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678878784179688 × 2 - 1) × π
    -0.357757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12392854849184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31801339} λ = -0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12392854849184))-π/2
    2×atan(0.325000503152572)-π/2
    2×0.314232354168565-π/2
    0.62846470833713-1.57079632675     		φ = -0.94233162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94233162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.991625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58902 KachelY 88982 -0.31801339 -0.94233162 -18.220825 -53.991625
    Oben rechts KachelX + 1 58903 KachelY 88982 -0.31796546 -0.94233162 -18.218079 -53.991625
    Unten links KachelX 58902 KachelY + 1 88983 -0.31801339 -0.94235980 -18.220825 -53.993239
    Unten rechts KachelX + 1 58903 KachelY + 1 88983 -0.31796546 -0.94235980 -18.218079 -53.993239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94233162--0.94235980) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dl = 179.534779999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94233162--0.94235980) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dr = 179.534779999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(-0.94233162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587903504942731 × 6371000     		do = 179.523407713537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(-0.94235980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587880709031875 × 6371000     		du = 179.516446707923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94233162)-sin(-0.94235980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587903504942731-0.587880709031875)×R²
    abs(-0.31796546--0.31801339)×2.27959108559661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27959108559661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27959108559661e-05×40589641000000     		ar = 32230.0706394458m²