Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58897 / 93713
↖ ↑ ↗
← S 60.953111°
W 18.234558°		 ← 148.29 m → S 60.953111°
W 18.231812°		 →
↑
148.25 m
↓
↑
148.25 m
↓
S 60.954444°
W 18.234558°		 ← 148.29 m →
21 984 m²		 S 60.954444°
W 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449352264404297 y=0.714977264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449352264404297 × 217)
    floor (0.449352264404297 × 131072)
    floor (58897.5)     		tx = 58897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714977264404297 × 217)
    floor (0.714977264404297 × 131072)
    floor (93713.5)     		ty = 93713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58897 / 93713 ti = "17/58897/93713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58897/93713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58897 ÷ 217
    58897 ÷ 131072     		x = 0.449348449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93713 ÷ 217
    93713 ÷ 131072     		y = 0.714973449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449348449707031 × 2 - 1) × π
    -0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714973449707031 × 2 - 1) × π
    -0.429946899414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.35071802059432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31825308} λ = -0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35071802059432))-π/2
    2×atan(0.25905418761)-π/2
    2×0.253481930742087-π/2
    0.506963861484175-1.57079632675     		φ = -1.06383247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06383247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.953111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58897 KachelY 93713 -0.31825308 -1.06383247 -18.234558 -60.953111
    Oben rechts KachelX + 1 58898 KachelY 93713 -0.31820514 -1.06383247 -18.231812 -60.953111
    Unten links KachelX 58897 KachelY + 1 93714 -0.31825308 -1.06385574 -18.234558 -60.954444
    Unten rechts KachelX + 1 58898 KachelY + 1 93714 -0.31820514 -1.06385574 -18.231812 -60.954444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06383247--1.06385574) × R
    2.32700000000197e-05 × 6371000     		dl = 148.253170000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06383247--1.06385574) × R
    2.32700000000197e-05 × 6371000     		dr = 148.253170000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(-1.06383247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.485525223599626 × 6371000     		do = 148.291900706656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(-1.06385574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.485504880306902 × 6371000     		du = 148.285687341421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06383247)-sin(-1.06385574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485525223599626-0.485504880306902)×R²
    abs(-0.31820514--0.31825308)×2.03432927238789e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03432927238789e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03432927238789e-05×40589641000000     		ar = 21984.2837905024m²