Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58897 / 88974
↖ ↑ ↗
← S 53.978705°
W 18.234558°		 ← 179.62 m → S 53.978705°
W 18.231812°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
S 53.980320°
W 18.234558°		 ← 179.61 m →
32 258 m²		 S 53.980320°
W 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449352264404297 y=0.678821563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449352264404297 × 217)
    floor (0.449352264404297 × 131072)
    floor (58897.5)     		tx = 58897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678821563720703 × 217)
    floor (0.678821563720703 × 131072)
    floor (88974.5)     		ty = 88974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58897 / 88974 ti = "17/58897/88974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58897/88974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58897 ÷ 217
    58897 ÷ 131072     		x = 0.449348449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88974 ÷ 217
    88974 ÷ 131072     		y = 0.678817749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449348449707031 × 2 - 1) × π
    -0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678817749023438 × 2 - 1) × π
    -0.357635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12354505329488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31825308} λ = -0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12354505329488))-π/2
    2×atan(0.325125163186275)-π/2
    2×0.314345100740343-π/2
    0.628690201480685-1.57079632675     		φ = -0.94210613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94210613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.978705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58897 KachelY 88974 -0.31825308 -0.94210613 -18.234558 -53.978705
    Oben rechts KachelX + 1 58898 KachelY 88974 -0.31820514 -0.94210613 -18.231812 -53.978705
    Unten links KachelX 58897 KachelY + 1 88975 -0.31825308 -0.94213432 -18.234558 -53.980320
    Unten rechts KachelX + 1 58898 KachelY + 1 88975 -0.31820514 -0.94213432 -18.231812 -53.980320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94210613--0.94213432) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94210613--0.94213432) × R
    2.81899999999835e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(-0.94210613) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588085895860971 × 6371000     		do = 179.61656992699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(-0.94213432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588063095598191 × 6371000     		du = 179.609606139859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94210613)-sin(-0.94213432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588085895860971-0.588063095598191)×R²
    abs(-0.31820514--0.31825308)×2.28002627794543e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28002627794543e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28002627794543e-05×40589641000000     		ar = 32258.2393969776m²