Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58897 / 87026
↖ ↑ ↗
← S 50.712113°
W 18.234558°		 ← 193.40 m → S 50.712113°
W 18.231812°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
S 50.713852°
W 18.234558°		 ← 193.39 m →
37 395 m²		 S 50.713852°
W 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449352264404297 y=0.663959503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449352264404297 × 217)
    floor (0.449352264404297 × 131072)
    floor (58897.5)     		tx = 58897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663959503173828 × 217)
    floor (0.663959503173828 × 131072)
    floor (87026.5)     		ty = 87026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58897 / 87026 ti = "17/58897/87026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58897/87026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58897 ÷ 217
    58897 ÷ 131072     		x = 0.449348449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87026 ÷ 217
    87026 ÷ 131072     		y = 0.663955688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449348449707031 × 2 - 1) × π
    -0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663955688476562 × 2 - 1) × π
    -0.327911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03016397283501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31825308} λ = -0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03016397283501))-π/2
    2×atan(0.356948425924883)-π/2
    2×0.342851493066017-π/2
    0.685702986132034-1.57079632675     		φ = -0.88509334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88509334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.712113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58897 KachelY 87026 -0.31825308 -0.88509334 -18.234558 -50.712113
    Oben rechts KachelX + 1 58898 KachelY 87026 -0.31820514 -0.88509334 -18.231812 -50.712113
    Unten links KachelX 58897 KachelY + 1 87027 -0.31825308 -0.88512369 -18.234558 -50.713852
    Unten rechts KachelX + 1 58898 KachelY + 1 87027 -0.31820514 -0.88512369 -18.231812 -50.713852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88509334--0.88512369) × R
    3.03500000000678e-05 × 6371000     		dl = 193.359850000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88509334--0.88512369) × R
    3.03500000000678e-05 × 6371000     		dr = 193.359850000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(-0.88509334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6332172615049 × 6371000     		do = 193.400850676005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(-0.88512369) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633193771099485 × 6371000     		du = 193.393676101548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88509334)-sin(-0.88512369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6332172615049-0.633193771099485)×R²
    abs(-0.31820514--0.31825308)×2.34904054150498e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34904054150498e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34904054150498e-05×40589641000000     		ar = 37395.2658422592m²