Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58891 / 89305
↖ ↑ ↗
← S 54.509921°
W 18.251038°		 ← 177.32 m → S 54.509921°
W 18.248291°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
S 54.511516°
W 18.251038°		 ← 177.31 m →
31 439 m²		 S 54.511516°
W 18.248291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449306488037109 y=0.681346893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449306488037109 × 217)
    floor (0.449306488037109 × 131072)
    floor (58891.5)     		tx = 58891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681346893310547 × 217)
    floor (0.681346893310547 × 131072)
    floor (89305.5)     		ty = 89305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58891 / 89305 ti = "17/58891/89305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58891/89305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58891 ÷ 217
    58891 ÷ 131072     		x = 0.449302673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89305 ÷ 217
    89305 ÷ 131072     		y = 0.681343078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449302673339844 × 2 - 1) × π
    -0.101394653320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31854070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681343078613281 × 2 - 1) × π
    -0.362686157226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.13941216706911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31854070} λ = -0.31854070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13941216706911))-π/2
    2×atan(0.32000707723642)-π/2
    2×0.309709364373626-π/2
    0.619418728747251-1.57079632675     		φ = -0.95137760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31854070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.251038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95137760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.509921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58891 KachelY 89305 -0.31854070 -0.95137760 -18.251038 -54.509921
    Oben rechts KachelX + 1 58892 KachelY 89305 -0.31849276 -0.95137760 -18.248291 -54.509921
    Unten links KachelX 58891 KachelY + 1 89306 -0.31854070 -0.95140543 -18.251038 -54.511516
    Unten rechts KachelX + 1 58892 KachelY + 1 89306 -0.31849276 -0.95140543 -18.248291 -54.511516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95137760--0.95140543) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dl = 177.304929999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95137760--0.95140543) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dr = 177.304929999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31854070--0.31849276) × cos(-0.95137760) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580561976665224 × 6371000     		do = 177.318571338928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31854070--0.31849276) × cos(-0.95140543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580539316807471 × 6371000     		du = 177.311650435105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95137760)-sin(-0.95140543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580561976665224-0.580539316807471)×R²
    abs(-0.31849276--0.31854070)×2.26598577530712e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26598577530712e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26598577530712e-05×40589641000000     		ar = 31438.8433258173m²