Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58888 / 92680
↖ ↑ ↗
← S 59.545457°
W 18.259277°		 ← 154.81 m → S 59.545457°
W 18.256531°		 →
↑
154.75 m
↓
↑
154.75 m
↓
S 59.546849°
W 18.259277°		 ← 154.80 m →
23 956 m²		 S 59.546849°
W 18.256531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 92680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449283599853516 y=0.707096099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449283599853516 × 217)
    floor (0.449283599853516 × 131072)
    floor (58888.5)     		tx = 58888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.707096099853516 × 217)
    floor (0.707096099853516 × 131072)
    floor (92680.5)     		ty = 92680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58888 / 92680 ti = "17/58888/92680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58888/92680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58888 ÷ 217
    58888 ÷ 131072     		x = 0.44927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 92680 ÷ 217
    92680 ÷ 131072     		y = 0.70709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70709228515625 × 2 - 1) × π
    -0.4141845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.3011992032868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31868451} λ = -0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3011992032868))-π/2
    2×atan(0.27220516789616)-π/2
    2×0.265766025662369-π/2
    0.531532051324739-1.57079632675     		φ = -1.03926428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03926428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.545457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58888 KachelY 92680 -0.31868451 -1.03926428 -18.259277 -59.545457
    Oben rechts KachelX + 1 58889 KachelY 92680 -0.31863657 -1.03926428 -18.256531 -59.545457
    Unten links KachelX 58888 KachelY + 1 92681 -0.31868451 -1.03928857 -18.259277 -59.546849
    Unten rechts KachelX + 1 58889 KachelY + 1 92681 -0.31863657 -1.03928857 -18.256531 -59.546849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03926428--1.03928857) × R
    2.42900000000379e-05 × 6371000     		dl = 154.751590000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03926428--1.03928857) × R
    2.42900000000379e-05 × 6371000     		dr = 154.751590000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31868451--0.31863657) × cos(-1.03926428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50685460820917 × 6371000     		do = 154.806443784594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31868451--0.31863657) × cos(-1.03928857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506833669313117 × 6371000     		du = 154.800048506773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03926428)-sin(-1.03928857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50685460820917-0.506833669313117)×R²
    abs(-0.31863657--0.31868451)×2.09388960530354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09388960530354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09388960530354e-05×40589641000000     		ar = 23956.0484794486m²