Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58887 / 89175
↖ ↑ ↗
← S 54.302102°
W 18.262024°		 ← 178.22 m → S 54.302102°
W 18.259277°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
S 54.303705°
W 18.262024°		 ← 178.21 m →
31 758 m²		 S 54.303705°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449275970458984 y=0.680355072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449275970458984 × 217)
    floor (0.449275970458984 × 131072)
    floor (58887.5)     		tx = 58887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680355072021484 × 217)
    floor (0.680355072021484 × 131072)
    floor (89175.5)     		ty = 89175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58887 / 89175 ti = "17/58887/89175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58887/89175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58887 ÷ 217
    58887 ÷ 131072     		x = 0.449272155761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89175 ÷ 217
    89175 ÷ 131072     		y = 0.680351257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449272155761719 × 2 - 1) × π
    -0.101455688476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31873245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680351257324219 × 2 - 1) × π
    -0.360702514648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.13318037011851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31873245} λ = -0.31873245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13318037011851))-π/2
    2×atan(0.322007523076671)-π/2
    2×0.31152292974583-π/2
    0.623045859491659-1.57079632675     		φ = -0.94775047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31873245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.262024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94775047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.302102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58887 KachelY 89175 -0.31873245 -0.94775047 -18.262024 -54.302102
    Oben rechts KachelX + 1 58888 KachelY 89175 -0.31868451 -0.94775047 -18.259277 -54.302102
    Unten links KachelX 58887 KachelY + 1 89176 -0.31873245 -0.94777844 -18.262024 -54.303705
    Unten rechts KachelX + 1 58888 KachelY + 1 89176 -0.31868451 -0.94777844 -18.259277 -54.303705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94775047--0.94777844) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94775047--0.94777844) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31873245--0.31868451) × cos(-0.94775047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583511418731488 × 6371000     		do = 178.219406864604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31873245--0.31868451) × cos(-0.94777844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.583488703928234 × 6371000     		du = 178.212469179011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94775047)-sin(-0.94777844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583511418731488-0.583488703928234)×R²
    abs(-0.31868451--0.31873245)×2.27148032542202e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27148032542202e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27148032542202e-05×40589641000000     		ar = 31757.5223415618m²