Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58886 / 89315
↖ ↑ ↗
← S 54.525864°
W 18.264770°		 ← 177.21 m → S 54.525864°
W 18.262024°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
S 54.527458°
W 18.264770°		 ← 177.21 m →
31 409 m²		 S 54.527458°
W 18.262024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449268341064453 y=0.681423187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449268341064453 × 217)
    floor (0.449268341064453 × 131072)
    floor (58886.5)     		tx = 58886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681423187255859 × 217)
    floor (0.681423187255859 × 131072)
    floor (89315.5)     		ty = 89315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58886 / 89315 ti = "17/58886/89315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58886/89315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58886 ÷ 217
    58886 ÷ 131072     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89315 ÷ 217
    89315 ÷ 131072     		y = 0.681419372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681419372558594 × 2 - 1) × π
    -0.362838745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.13989153606532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13989153606532))-π/2
    2×atan(0.319853712527109)-π/2
    2×0.309570239821661-π/2
    0.619140479643322-1.57079632675     		φ = -0.95165585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95165585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.525864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58886 KachelY 89315 -0.31878038 -0.95165585 -18.264770 -54.525864
    Oben rechts KachelX + 1 58887 KachelY 89315 -0.31873245 -0.95165585 -18.262024 -54.525864
    Unten links KachelX 58886 KachelY + 1 89316 -0.31878038 -0.95168367 -18.264770 -54.527458
    Unten rechts KachelX + 1 58887 KachelY + 1 89316 -0.31873245 -0.95168367 -18.262024 -54.527458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95165585--0.95168367) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dl = 177.241220000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95165585--0.95168367) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dr = 177.241220000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31873245) × cos(-0.95165585) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.5803353985752 × 6371000     		do = 177.212395389685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31873245) × cos(-0.95168367) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.580312742366653 × 6371000     		du = 177.205477043851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95165585)-sin(-0.95168367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5803353985752-0.580312742366653)×R²
    abs(-0.31873245--0.31878038)×2.26562085472448e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26562085472448e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26562085472448e-05×40589641000000     		ar = 31408.7280520785m²