Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58884 / 93700
↖ ↑ ↗
← S 60.935770°
W 18.270264°		 ← 148.37 m → S 60.935770°
W 18.267517°		 →
↑
148.38 m
↓
↑
148.38 m
↓
S 60.937104°
W 18.270264°		 ← 148.37 m →
22 015 m²		 S 60.937104°
W 18.267517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449253082275391 y=0.714878082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449253082275391 × 217)
    floor (0.449253082275391 × 131072)
    floor (58884.5)     		tx = 58884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714878082275391 × 217)
    floor (0.714878082275391 × 131072)
    floor (93700.5)     		ty = 93700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58884 / 93700 ti = "17/58884/93700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58884/93700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58884 ÷ 217
    58884 ÷ 131072     		x = 0.449249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93700 ÷ 217
    93700 ÷ 131072     		y = 0.714874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714874267578125 × 2 - 1) × π
    -0.42974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35009484089926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31887626} λ = -0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35009484089926))-π/2
    2×atan(0.259215675232317)-π/2
    2×0.253633256688728-π/2
    0.507266513377457-1.57079632675     		φ = -1.06352981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06352981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.935770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58884 KachelY 93700 -0.31887626 -1.06352981 -18.270264 -60.935770
    Oben rechts KachelX + 1 58885 KachelY 93700 -0.31882832 -1.06352981 -18.267517 -60.935770
    Unten links KachelX 58884 KachelY + 1 93701 -0.31887626 -1.06355310 -18.270264 -60.937104
    Unten rechts KachelX + 1 58885 KachelY + 1 93701 -0.31882832 -1.06355310 -18.267517 -60.937104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06352981--1.06355310) × R
    2.32900000001202e-05 × 6371000     		dl = 148.380590000766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06352981--1.06355310) × R
    2.32900000001202e-05 × 6371000     		dr = 148.380590000766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31887626--0.31882832) × cos(-1.06352981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.485789793587712 × 6371000     		do = 148.372707191049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31887626--0.31882832) × cos(-1.06355310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.485769436233614 × 6371000     		du = 148.366489531109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06352981)-sin(-1.06355310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485789793587712-0.485769436233614)×R²
    abs(-0.31882832--0.31887626)×2.03573540987212e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03573540987212e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03573540987212e-05×40589641000000     		ar = 22015.1685440092m²