Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58881 / 89170
↖ ↑ ↗
← S 54.294088°
W 18.278504°		 ← 178.25 m → S 54.294088°
W 18.275757°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
S 54.295691°
W 18.278504°		 ← 178.25 m →
31 764 m²		 S 54.295691°
W 18.275757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449230194091797 y=0.680316925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449230194091797 × 217)
    floor (0.449230194091797 × 131072)
    floor (58881.5)     		tx = 58881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680316925048828 × 217)
    floor (0.680316925048828 × 131072)
    floor (89170.5)     		ty = 89170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58881 / 89170 ti = "17/58881/89170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58881/89170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58881 ÷ 217
    58881 ÷ 131072     		x = 0.449226379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89170 ÷ 217
    89170 ÷ 131072     		y = 0.680313110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449226379394531 × 2 - 1) × π
    -0.101547241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31902007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680313110351562 × 2 - 1) × π
    -0.360626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13294068562041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31902007} λ = -0.31902007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13294068562041))-π/2
    2×atan(0.322084712538413)-π/2
    2×0.311592865872908-π/2
    0.623185731745816-1.57079632675     		φ = -0.94761060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31902007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.278504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94761060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.294088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58881 KachelY 89170 -0.31902007 -0.94761060 -18.278504 -54.294088
    Oben rechts KachelX + 1 58882 KachelY 89170 -0.31897213 -0.94761060 -18.275757 -54.294088
    Unten links KachelX 58881 KachelY + 1 89171 -0.31902007 -0.94763857 -18.278504 -54.295691
    Unten rechts KachelX + 1 58882 KachelY + 1 89171 -0.31897213 -0.94763857 -18.275757 -54.295691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94761060--0.94763857) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94761060--0.94763857) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31902007--0.31897213) × cos(-0.94761060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583625002140472 × 6371000     		do = 178.254098161138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31902007--0.31897213) × cos(-0.94763857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583602289620188 × 6371000     		du = 178.247161172823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94761060)-sin(-0.94763857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583625002140472-0.583602289620188)×R²
    abs(-0.31897213--0.31902007)×2.27125202841849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27125202841849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27125202841849e-05×40589641000000     		ar = 31763.7042842261m²