Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58881 / 87401
↖ ↑ ↗
← S 51.359777°
W 18.278504°		 ← 190.72 m → S 51.359777°
W 18.275757°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
S 51.361492°
W 18.278504°		 ← 190.71 m →
36 366 m²		 S 51.361492°
W 18.275757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449230194091797 y=0.666820526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449230194091797 × 217)
    floor (0.449230194091797 × 131072)
    floor (58881.5)     		tx = 58881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666820526123047 × 217)
    floor (0.666820526123047 × 131072)
    floor (87401.5)     		ty = 87401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58881 / 87401 ti = "17/58881/87401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58881/87401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58881 ÷ 217
    58881 ÷ 131072     		x = 0.449226379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87401 ÷ 217
    87401 ÷ 131072     		y = 0.666816711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449226379394531 × 2 - 1) × π
    -0.101547241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31902007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666816711425781 × 2 - 1) × π
    -0.333633422851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.04814031019253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31902007} λ = -0.31902007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04814031019253))-π/2
    2×atan(0.35058913027215)-π/2
    2×0.337199560606102-π/2
    0.674399121212204-1.57079632675     		φ = -0.89639721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31902007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.278504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89639721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.359777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58881 KachelY 87401 -0.31902007 -0.89639721 -18.278504 -51.359777
    Oben rechts KachelX + 1 58882 KachelY 87401 -0.31897213 -0.89639721 -18.275757 -51.359777
    Unten links KachelX 58881 KachelY + 1 87402 -0.31902007 -0.89642714 -18.278504 -51.361492
    Unten rechts KachelX + 1 58882 KachelY + 1 87402 -0.31897213 -0.89642714 -18.275757 -51.361492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89639721--0.89642714) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89639721--0.89642714) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31902007--0.31897213) × cos(-0.89639721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624428090247982 × 6371000     		do = 190.716411540652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31902007--0.31897213) × cos(-0.89642714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624404712175049 × 6371000     		du = 190.709271275426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89639721)-sin(-0.89642714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624428090247982-0.624404712175049)×R²
    abs(-0.31897213--0.31902007)×2.33780729324007e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33780729324007e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33780729324007e-05×40589641000000     		ar = 36365.8931749941m²