Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58875 / 89077
↖ ↑ ↗
← S 54.144741°
W 18.294983°		 ← 178.90 m → S 54.144741°
W 18.292236°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 54.146350°
W 18.294983°		 ← 178.89 m →
31 993 m²		 S 54.146350°
W 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449184417724609 y=0.679607391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449184417724609 × 217)
    floor (0.449184417724609 × 131072)
    floor (58875.5)     		tx = 58875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679607391357422 × 217)
    floor (0.679607391357422 × 131072)
    floor (89077.5)     		ty = 89077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58875 / 89077 ti = "17/58875/89077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58875/89077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58875 ÷ 217
    58875 ÷ 131072     		x = 0.449180603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89077 ÷ 217
    89077 ÷ 131072     		y = 0.679603576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449180603027344 × 2 - 1) × π
    -0.101638793945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31930769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679603576660156 × 2 - 1) × π
    -0.359207153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.12848255395574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31930769} λ = -0.31930769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12848255395574))-π/2
    2×atan(0.323523814062619)-π/2
    2×0.312896160570892-π/2
    0.625792321141785-1.57079632675     		φ = -0.94500401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31930769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.294983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94500401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.144741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58875 KachelY 89077 -0.31930769 -0.94500401 -18.294983 -54.144741
    Oben rechts KachelX + 1 58876 KachelY 89077 -0.31925975 -0.94500401 -18.292236 -54.144741
    Unten links KachelX 58875 KachelY + 1 89078 -0.31930769 -0.94503208 -18.294983 -54.146350
    Unten rechts KachelX + 1 58876 KachelY + 1 89078 -0.31925975 -0.94503208 -18.292236 -54.146350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94500401--0.94503208) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dl = 178.833970000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94500401--0.94503208) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dr = 178.833970000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31930769--0.31925975) × cos(-0.94500401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585739628920811 × 6371000     		do = 178.899959610347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31930769--0.31925975) × cos(-0.94503208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585716877975192 × 6371000     		du = 178.893010885945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94500401)-sin(-0.94503208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585739628920811-0.585716877975192)×R²
    abs(-0.31925975--0.31930769)×2.27509456193209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27509456193209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27509456193209e-05×40589641000000     		ar = 31992.7686782607m²