Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58874 / 89079
↖ ↑ ↗
← S 54.147959°
W 18.297730°		 ← 178.89 m → S 54.147959°
W 18.294983°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 54.149567°
W 18.297730°		 ← 178.88 m →
32 002 m²		 S 54.149567°
W 18.294983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449176788330078 y=0.679622650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449176788330078 × 217)
    floor (0.449176788330078 × 131072)
    floor (58874.5)     		tx = 58874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679622650146484 × 217)
    floor (0.679622650146484 × 131072)
    floor (89079.5)     		ty = 89079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58874 / 89079 ti = "17/58874/89079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58874/89079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58874 ÷ 217
    58874 ÷ 131072     		x = 0.449172973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89079 ÷ 217
    89079 ÷ 131072     		y = 0.679618835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449172973632812 × 2 - 1) × π
    -0.101654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31935563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679618835449219 × 2 - 1) × π
    -0.359237670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.12857842775498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31935563} λ = -0.31935563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12857842775498))-π/2
    2×atan(0.323492798092253)-π/2
    2×0.312868083119845-π/2
    0.625736166239691-1.57079632675     		φ = -0.94506016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31935563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.297730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94506016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.147959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58874 KachelY 89079 -0.31935563 -0.94506016 -18.297730 -54.147959
    Oben rechts KachelX + 1 58875 KachelY 89079 -0.31930769 -0.94506016 -18.294983 -54.147959
    Unten links KachelX 58874 KachelY + 1 89080 -0.31935563 -0.94508824 -18.297730 -54.149567
    Unten rechts KachelX + 1 58875 KachelY + 1 89080 -0.31930769 -0.94508824 -18.294983 -54.149567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94506016--0.94508824) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dl = 178.89767999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94506016--0.94508824) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dr = 178.89767999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31935563--0.31930769) × cos(-0.94506016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58569411846275 × 6371000     		do = 178.886059545223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31935563--0.31930769) × cos(-0.94508824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585671358488496 × 6371000     		du = 178.879108063244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94506016)-sin(-0.94508824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58569411846275-0.585671358488496)×R²
    abs(-0.31930769--0.31935563)×2.27599742537166e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27599742537166e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27599742537166e-05×40589641000000     		ar = 32001.6792370601m²