Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58873 / 87399
↖ ↑ ↗
← S 51.356347°
W 18.300476°		 ← 190.69 m → S 51.356347°
W 18.297730°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
S 51.358061°
W 18.300476°		 ← 190.68 m →
36 361 m²		 S 51.358061°
W 18.297730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449169158935547 y=0.666805267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449169158935547 × 217)
    floor (0.449169158935547 × 131072)
    floor (58873.5)     		tx = 58873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666805267333984 × 217)
    floor (0.666805267333984 × 131072)
    floor (87399.5)     		ty = 87399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58873 / 87399 ti = "17/58873/87399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58873/87399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58873 ÷ 217
    58873 ÷ 131072     		x = 0.449165344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87399 ÷ 217
    87399 ÷ 131072     		y = 0.666801452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449165344238281 × 2 - 1) × π
    -0.101669311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.31940356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666801452636719 × 2 - 1) × π
    -0.333602905273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.04804443639329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31940356} λ = -0.31940356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04804443639329))-π/2
    2×atan(0.350622744195362)-π/2
    2×0.337229494873737-π/2
    0.674458989747473-1.57079632675     		φ = -0.89633734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31940356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.300476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89633734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.356347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58873 KachelY 87399 -0.31940356 -0.89633734 -18.300476 -51.356347
    Oben rechts KachelX + 1 58874 KachelY 87399 -0.31935563 -0.89633734 -18.297730 -51.356347
    Unten links KachelX 58873 KachelY + 1 87400 -0.31940356 -0.89636727 -18.300476 -51.358061
    Unten rechts KachelX + 1 58874 KachelY + 1 87400 -0.31935563 -0.89636727 -18.297730 -51.358061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89633734--0.89636727) × R
    2.99300000000668e-05 × 6371000     		dl = 190.684030000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89633734--0.89636727) × R
    2.99300000000668e-05 × 6371000     		dr = 190.684030000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31940356--0.31935563) × cos(-0.89633734) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.624474852526178 × 6371000     		do = 190.69090865124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31940356--0.31935563) × cos(-0.89636727) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.624451475572185 × 6371000     		du = 190.683770217114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89633734)-sin(-0.89636727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624474852526178-0.624451475572185)×R²
    abs(-0.31935563--0.31940356)×2.33769539931261e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33769539931261e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33769539931261e-05×40589641000000     		ar = 36361.030356116m²