Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58870 / 89103
↖ ↑ ↗
← S 54.186548°
W 18.308716°		 ← 178.68 m → S 54.186548°
W 18.305969°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 54.188156°
W 18.308716°		 ← 178.68 m →
31 931 m²		 S 54.188156°
W 18.305969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449146270751953 y=0.679805755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449146270751953 × 217)
    floor (0.449146270751953 × 131072)
    floor (58870.5)     		tx = 58870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679805755615234 × 217)
    floor (0.679805755615234 × 131072)
    floor (89103.5)     		ty = 89103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58870 / 89103 ti = "17/58870/89103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58870/89103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58870 ÷ 217
    58870 ÷ 131072     		x = 0.449142456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89103 ÷ 217
    89103 ÷ 131072     		y = 0.679801940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449142456054688 × 2 - 1) × π
    -0.101715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31954737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679801940917969 × 2 - 1) × π
    -0.359603881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.12972891334586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31954737} λ = -0.31954737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12972891334586))-π/2
    2×atan(0.323120838297514)-π/2
    2×0.312531323862952-π/2
    0.625062647725903-1.57079632675     		φ = -0.94573368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31954737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.308716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94573368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.186548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58870 KachelY 89103 -0.31954737 -0.94573368 -18.308716 -54.186548
    Oben rechts KachelX + 1 58871 KachelY 89103 -0.31949944 -0.94573368 -18.305969 -54.186548
    Unten links KachelX 58870 KachelY + 1 89104 -0.31954737 -0.94576173 -18.308716 -54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 58871 KachelY + 1 89104 -0.31949944 -0.94576173 -18.305969 -54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94573368--0.94576173) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dl = 178.706549999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94573368--0.94576173) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dr = 178.706549999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31954737--0.31949944) × cos(-0.94573368) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.585148076032503 × 6371000     		do = 178.682004347782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31954737--0.31949944) × cos(-0.94576173) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 178.675058363952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94573368)-sin(-0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585148076032503-0.585125329315008)×R²
    abs(-0.31949944--0.31954737)×2.27467174945817e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27467174945817e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27467174945817e-05×40589641000000     		ar = 31931.0238995178m²