Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58870 / 89101
↖ ↑ ↗
← S 54.183334°
W 18.308716°		 ← 178.70 m → S 54.183334°
W 18.305969°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
S 54.184941°
W 18.308716°		 ← 178.69 m →
31 934 m²		 S 54.184941°
W 18.305969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449146270751953 y=0.679790496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449146270751953 × 217)
    floor (0.449146270751953 × 131072)
    floor (58870.5)     		tx = 58870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679790496826172 × 217)
    floor (0.679790496826172 × 131072)
    floor (89101.5)     		ty = 89101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58870 / 89101 ti = "17/58870/89101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58870/89101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58870 ÷ 217
    58870 ÷ 131072     		x = 0.449142456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89101 ÷ 217
    89101 ÷ 131072     		y = 0.679786682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449142456054688 × 2 - 1) × π
    -0.101715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31954737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679786682128906 × 2 - 1) × π
    -0.359573364257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.12963303954662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31954737} λ = -0.31954737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12963303954662))-π/2
    2×atan(0.323151818604971)-π/2
    2×0.312559375137988-π/2
    0.625118750275976-1.57079632675     		φ = -0.94567758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31954737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.308716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94567758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.183334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58870 KachelY 89101 -0.31954737 -0.94567758 -18.308716 -54.183334
    Oben rechts KachelX + 1 58871 KachelY 89101 -0.31949944 -0.94567758 -18.305969 -54.183334
    Unten links KachelX 58870 KachelY + 1 89102 -0.31954737 -0.94570563 -18.308716 -54.184941
    Unten rechts KachelX + 1 58871 KachelY + 1 89102 -0.31949944 -0.94570563 -18.305969 -54.184941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94567758--0.94570563) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dl = 178.706549999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94567758--0.94570563) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dr = 178.706549999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31954737--0.31949944) × cos(-0.94567758) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.585193568086286 × 6371000     		do = 178.695895893674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31954737--0.31949944) × cos(-0.94570563) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		du = 178.688950191024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94567758)-sin(-0.94570563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585193568086286-0.585170822289601)×R²
    abs(-0.31949944--0.31954737)×2.27457966847089e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27457966847089e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27457966847089e-05×40589641000000     		ar = 31933.5064351151m²