Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58869 / 89013
↖ ↑ ↗
← S 54.041651°
W 18.311462°		 ← 179.35 m → S 54.041651°
W 18.308716°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 54.043264°
W 18.311462°		 ← 179.34 m →
32 164 m²		 S 54.043264°
W 18.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449138641357422 y=0.679119110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449138641357422 × 217)
    floor (0.449138641357422 × 131072)
    floor (58869.5)     		tx = 58869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679119110107422 × 217)
    floor (0.679119110107422 × 131072)
    floor (89013.5)     		ty = 89013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58869 / 89013 ti = "17/58869/89013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58869/89013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58869 ÷ 217
    58869 ÷ 131072     		x = 0.449134826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89013 ÷ 217
    89013 ÷ 131072     		y = 0.679115295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449134826660156 × 2 - 1) × π
    -0.101730346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31959531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679115295410156 × 2 - 1) × π
    -0.358230590820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.12541459238006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31959531} λ = -0.31959531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12541459238006))-π/2
    2×atan(0.324517896817104)-π/2
    2×0.31379579146809-π/2
    0.627591582936179-1.57079632675     		φ = -0.94320474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31959531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.311462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94320474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.041651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58869 KachelY 89013 -0.31959531 -0.94320474 -18.311462 -54.041651
    Oben rechts KachelX + 1 58870 KachelY 89013 -0.31954737 -0.94320474 -18.308716 -54.041651
    Unten links KachelX 58869 KachelY + 1 89014 -0.31959531 -0.94323289 -18.311462 -54.043264
    Unten rechts KachelX + 1 58870 KachelY + 1 89014 -0.31954737 -0.94323289 -18.308716 -54.043264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94320474--0.94323289) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94320474--0.94323289) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31959531--0.31954737) × cos(-0.94320474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587196987049749 × 6371000     		do = 179.34507429553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31959531--0.31954737) × cos(-0.94323289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.587174200966598 × 6371000     		du = 179.338114839222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94320474)-sin(-0.94323289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587196987049749-0.587174200966598)×R²
    abs(-0.31954737--0.31959531)×2.2786083150983e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2786083150983e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2786083150983e-05×40589641000000     		ar = 32163.7761685698m²