Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58867 / 89009
↖ ↑ ↗
← S 54.035199°
W 18.316955°		 ← 179.34 m → S 54.035199°
W 18.314209°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 54.036812°
W 18.316955°		 ← 179.33 m →
32 162 m²		 S 54.036812°
W 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449123382568359 y=0.679088592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449123382568359 × 217)
    floor (0.449123382568359 × 131072)
    floor (58867.5)     		tx = 58867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679088592529297 × 217)
    floor (0.679088592529297 × 131072)
    floor (89009.5)     		ty = 89009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58867 / 89009 ti = "17/58867/89009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58867/89009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58867 ÷ 217
    58867 ÷ 131072     		x = 0.449119567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89009 ÷ 217
    89009 ÷ 131072     		y = 0.679084777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449119567871094 × 2 - 1) × π
    -0.101760864257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31969118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679084777832031 × 2 - 1) × π
    -0.358169555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.12522284478158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31969118} λ = -0.31969118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12522284478158))-π/2
    2×atan(0.324580128310661)-π/2
    2×0.313852092642832-π/2
    0.627704185285664-1.57079632675     		φ = -0.94309214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31969118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.316955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94309214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.035199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58867 KachelY 89009 -0.31969118 -0.94309214 -18.316955 -54.035199
    Oben rechts KachelX + 1 58868 KachelY 89009 -0.31964325 -0.94309214 -18.314209 -54.035199
    Unten links KachelX 58867 KachelY + 1 89010 -0.31969118 -0.94312029 -18.316955 -54.036812
    Unten rechts KachelX + 1 58868 KachelY + 1 89010 -0.31964325 -0.94312029 -18.314209 -54.036812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94309214--0.94312029) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94309214--0.94312029) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31969118--0.31964325) × cos(-0.94309214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587288126729091 × 6371000     		do = 179.335494573002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31969118--0.31964325) × cos(-0.94312029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587265342507281 × 6371000     		du = 179.328537136778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94309214)-sin(-0.94312029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587288126729091-0.587265342507281)×R²
    abs(-0.31964325--0.31969118)×2.27842218102348e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27842218102348e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27842218102348e-05×40589641000000     		ar = 32162.058287307m²