Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58863 / 87292
↖ ↑ ↗
← S 51.172455°
W 18.327942°		 ← 191.50 m → S 51.172455°
W 18.325195°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
S 51.174178°
W 18.327942°		 ← 191.49 m →
36 673 m²		 S 51.174178°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449092864990234 y=0.665988922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449092864990234 × 217)
    floor (0.449092864990234 × 131072)
    floor (58863.5)     		tx = 58863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665988922119141 × 217)
    floor (0.665988922119141 × 131072)
    floor (87292.5)     		ty = 87292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58863 / 87292 ti = "17/58863/87292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58863/87292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58863 ÷ 217
    58863 ÷ 131072     		x = 0.449089050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87292 ÷ 217
    87292 ÷ 131072     		y = 0.665985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449089050292969 × 2 - 1) × π
    -0.101821899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31988293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.33197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04291518813394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31988293} λ = -0.31988293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04291518813394))-π/2
    2×atan(0.352425795491509)-π/2
    2×0.338834247720693-π/2
    0.677668495441385-1.57079632675     		φ = -0.89312783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31988293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.327942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89312783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.172455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58863 KachelY 87292 -0.31988293 -0.89312783 -18.327942 -51.172455
    Oben rechts KachelX + 1 58864 KachelY 87292 -0.31983499 -0.89312783 -18.325195 -51.172455
    Unten links KachelX 58863 KachelY + 1 87293 -0.31988293 -0.89315789 -18.327942 -51.174178
    Unten rechts KachelX + 1 58864 KachelY + 1 87293 -0.31983499 -0.89315789 -18.325195 -51.174178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89312783--0.89315789) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89312783--0.89315789) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31988293--0.31983499) × cos(-0.89312783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626978403345483 × 6371000     		do = 191.495342805909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31988293--0.31983499) × cos(-0.89315789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626954985220909 × 6371000     		du = 191.488190307881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89312783)-sin(-0.89315789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626978403345483-0.626954985220909)×R²
    abs(-0.31983499--0.31988293)×2.34181245737375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34181245737375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34181245737375e-05×40589641000000     		ar = 36673.0209874383m²