Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58851 / 87140
↖ ↑ ↗
← S 50.909961°
W 18.360901°		 ← 192.54 m → S 50.909961°
W 18.358154°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
S 50.911692°
W 18.360901°		 ← 192.54 m →
37 070 m²		 S 50.911692°
W 18.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449001312255859 y=0.664829254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449001312255859 × 217)
    floor (0.449001312255859 × 131072)
    floor (58851.5)     		tx = 58851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664829254150391 × 217)
    floor (0.664829254150391 × 131072)
    floor (87140.5)     		ty = 87140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58851 / 87140 ti = "17/58851/87140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58851/87140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58851 ÷ 217
    58851 ÷ 131072     		x = 0.448997497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87140 ÷ 217
    87140 ÷ 131072     		y = 0.664825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448997497558594 × 2 - 1) × π
    -0.102005004882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32045817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.32965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03562877939169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32045817} λ = -0.32045817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03562877939169))-π/2
    2×atan(0.355003092104301)-π/2
    2×0.341124945481208-π/2
    0.682249890962416-1.57079632675     		φ = -0.88854644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32045817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.360901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88854644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.909961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58851 KachelY 87140 -0.32045817 -0.88854644 -18.360901 -50.909961
    Oben rechts KachelX + 1 58852 KachelY 87140 -0.32041024 -0.88854644 -18.358154 -50.909961
    Unten links KachelX 58851 KachelY + 1 87141 -0.32045817 -0.88857666 -18.360901 -50.911692
    Unten rechts KachelX + 1 58852 KachelY + 1 87141 -0.32041024 -0.88857666 -18.358154 -50.911692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88854644--0.88857666) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88854644--0.88857666) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32045817--0.32041024) × cos(-0.88854644) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630540881662994 × 6371000     		do = 192.543243622497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32045817--0.32041024) × cos(-0.88857666) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630517425939585 × 6371000     		du = 192.536081135181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88854644)-sin(-0.88857666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630540881662994-0.630517425939585)×R²
    abs(-0.32041024--0.32045817)×2.34557234088939e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34557234088939e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34557234088939e-05×40589641000000     		ar = 37069.9731147141m²