Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58847 / 89769
↖ ↑ ↗
← S 55.243118°
W 18.371887°		 ← 174.12 m → S 55.243118°
W 18.369140°		 →
↑
174.06 m
↓
↑
174.06 m
↓
S 55.244683°
W 18.371887°		 ← 174.11 m →
30 306 m²		 S 55.244683°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448970794677734 y=0.684886932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448970794677734 × 217)
    floor (0.448970794677734 × 131072)
    floor (58847.5)     		tx = 58847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684886932373047 × 217)
    floor (0.684886932373047 × 131072)
    floor (89769.5)     		ty = 89769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58847 / 89769 ti = "17/58847/89769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58847/89769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58847 ÷ 217
    58847 ÷ 131072     		x = 0.448966979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89769 ÷ 217
    89769 ÷ 131072     		y = 0.684883117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448966979980469 × 2 - 1) × π
    -0.102066040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32064992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684883117675781 × 2 - 1) × π
    -0.369766235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.16165488849282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32064992} λ = -0.32064992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16165488849282))-π/2
    2×atan(0.3129678252379)-π/2
    2×0.30331101536667-π/2
    0.60662203073334-1.57079632675     		φ = -0.96417430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32064992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.371887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96417430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.243118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58847 KachelY 89769 -0.32064992 -0.96417430 -18.371887 -55.243118
    Oben rechts KachelX + 1 58848 KachelY 89769 -0.32060198 -0.96417430 -18.369140 -55.243118
    Unten links KachelX 58847 KachelY + 1 89770 -0.32064992 -0.96420162 -18.371887 -55.244683
    Unten rechts KachelX + 1 58848 KachelY + 1 89770 -0.32060198 -0.96420162 -18.369140 -55.244683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96417430--0.96420162) × R
    2.73199999999418e-05 × 6371000     		dl = 174.055719999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96417430--0.96420162) × R
    2.73199999999418e-05 × 6371000     		dr = 174.055719999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32064992--0.32060198) × cos(-0.96417430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570095447917035 × 6371000     		do = 174.121824050578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32064992--0.32060198) × cos(-0.96420162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570073002180517 × 6371000     		du = 174.114968544892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96417430)-sin(-0.96420162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570095447917035-0.570073002180517)×R²
    abs(-0.32060198--0.32064992)×2.24457365172182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24457365172182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24457365172182e-05×40589641000000     		ar = 30306.3028347463m²