Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58839 / 89081
↖ ↑ ↗
← S 54.151176°
W 18.393860°		 ← 178.87 m → S 54.151176°
W 18.391113°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 54.152784°
W 18.393860°		 ← 178.87 m →
31 988 m²		 S 54.152784°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448909759521484 y=0.679637908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448909759521484 × 217)
    floor (0.448909759521484 × 131072)
    floor (58839.5)     		tx = 58839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679637908935547 × 217)
    floor (0.679637908935547 × 131072)
    floor (89081.5)     		ty = 89081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58839 / 89081 ti = "17/58839/89081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58839/89081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58839 ÷ 217
    58839 ÷ 131072     		x = 0.448905944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89081 ÷ 217
    89081 ÷ 131072     		y = 0.679634094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448905944824219 × 2 - 1) × π
    -0.102188110351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32103342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679634094238281 × 2 - 1) × π
    -0.359268188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.12867430155422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32103342} λ = -0.32103342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12867430155422))-π/2
    2×atan(0.323461785095364)-π/2
    2×0.312840007850579-π/2
    0.625680015701158-1.57079632675     		φ = -0.94511631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32103342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.393860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94511631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.151176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58839 KachelY 89081 -0.32103342 -0.94511631 -18.393860 -54.151176
    Oben rechts KachelX + 1 58840 KachelY 89081 -0.32098548 -0.94511631 -18.391113 -54.151176
    Unten links KachelX 58839 KachelY + 1 89082 -0.32103342 -0.94514438 -18.393860 -54.152784
    Unten rechts KachelX + 1 58840 KachelY + 1 89082 -0.32098548 -0.94514438 -18.391113 -54.152784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94511631--0.94514438) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dl = 178.833970000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94511631--0.94514438) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dr = 178.833970000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32103342--0.32098548) × cos(-0.94511631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585648606158099 × 6371000     		do = 178.872158915896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32103342--0.32098548) × cos(-0.94514438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585625853366255 × 6371000     		du = 178.86520962761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94511631)-sin(-0.94514438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585648606158099-0.585625853366255)×R²
    abs(-0.32098548--0.32103342)×2.27527918442716e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27527918442716e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27527918442716e-05×40589641000000     		ar = 31987.7969193032m²