Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58834 / 89292
↖ ↑ ↗
← S 54.489186°
W 18.407593°		 ← 177.41 m → S 54.489186°
W 18.404846°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
S 54.490782°
W 18.407593°		 ← 177.40 m →
31 477 m²		 S 54.490782°
W 18.404846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448871612548828 y=0.681247711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448871612548828 × 217)
    floor (0.448871612548828 × 131072)
    floor (58834.5)     		tx = 58834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681247711181641 × 217)
    floor (0.681247711181641 × 131072)
    floor (89292.5)     		ty = 89292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58834 / 89292 ti = "17/58834/89292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58834/89292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58834 ÷ 217
    58834 ÷ 131072     		x = 0.448867797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89292 ÷ 217
    89292 ÷ 131072     		y = 0.681243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448867797851562 × 2 - 1) × π
    -0.102264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32127310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.36248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13878898737405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32127310} λ = -0.32127310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13878898737405))-π/2
    2×atan(0.320206561299983)-π/2
    2×0.309890307489614-π/2
    0.619780614979228-1.57079632675     		φ = -0.95101571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32127310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.407593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95101571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.489186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58834 KachelY 89292 -0.32127310 -0.95101571 -18.407593 -54.489186
    Oben rechts KachelX + 1 58835 KachelY 89292 -0.32122516 -0.95101571 -18.404846 -54.489186
    Unten links KachelX 58834 KachelY + 1 89293 -0.32127310 -0.95104356 -18.407593 -54.490782
    Unten rechts KachelX + 1 58835 KachelY + 1 89293 -0.32122516 -0.95104356 -18.404846 -54.490782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95101571--0.95104356) × R
    2.78500000000514e-05 × 6371000     		dl = 177.432350000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95101571--0.95104356) × R
    2.78500000000514e-05 × 6371000     		dr = 177.432350000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32127310--0.32122516) × cos(-0.95101571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580856595292032 × 6371000     		do = 177.408555450833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32127310--0.32122516) × cos(-0.95104356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580833925002278 × 6371000     		du = 177.401631360809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95101571)-sin(-0.95104356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580856595292032-0.580833925002278)×R²
    abs(-0.32122516--0.32127310)×2.267028975389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.267028975389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.267028975389e-05×40589641000000     		ar = 31477.4026271816m²