Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58833 / 89297
↖ ↑ ↗
← S 54.497163°
W 18.410339°		 ← 177.37 m → S 54.497163°
W 18.407593°		 →
↑
177.37 m
↓
↑
177.37 m
↓
S 54.498758°
W 18.410339°		 ← 177.37 m →
31 460 m²		 S 54.498758°
W 18.407593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448863983154297 y=0.681285858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448863983154297 × 217)
    floor (0.448863983154297 × 131072)
    floor (58833.5)     		tx = 58833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681285858154297 × 217)
    floor (0.681285858154297 × 131072)
    floor (89297.5)     		ty = 89297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58833 / 89297 ti = "17/58833/89297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58833/89297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58833 ÷ 217
    58833 ÷ 131072     		x = 0.448860168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89297 ÷ 217
    89297 ÷ 131072     		y = 0.681282043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448860168457031 × 2 - 1) × π
    -0.102279663085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32132104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681282043457031 × 2 - 1) × π
    -0.362564086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.13902867187215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32132104} λ = -0.32132104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13902867187215))-π/2
    2×atan(0.320129821948033)-π/2
    2×0.309820703119548-π/2
    0.619641406239095-1.57079632675     		φ = -0.95115492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32132104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.410339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95115492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.497163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58833 KachelY 89297 -0.32132104 -0.95115492 -18.410339 -54.497163
    Oben rechts KachelX + 1 58834 KachelY 89297 -0.32127310 -0.95115492 -18.407593 -54.497163
    Unten links KachelX 58833 KachelY + 1 89298 -0.32132104 -0.95118276 -18.410339 -54.498758
    Unten rechts KachelX + 1 58834 KachelY + 1 89298 -0.32127310 -0.95118276 -18.407593 -54.498758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95115492--0.95118276) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dl = 177.368640000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95115492--0.95118276) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dr = 177.368640000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32132104--0.32127310) × cos(-0.95115492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580743271901831 × 6371000     		do = 177.373943570727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32132104--0.32127310) × cos(-0.95118276) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58072060750139 × 6371000     		du = 177.367021279451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95115492)-sin(-0.95118276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580743271901831-0.58072060750139)×R²
    abs(-0.32127310--0.32132104)×2.26644004411858e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26644004411858e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26644004411858e-05×40589641000000     		ar = 31459.9612457285m²