Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58833 / 89080
↖ ↑ ↗
← S 54.149567°
W 18.410339°		 ← 178.88 m → S 54.149567°
W 18.407593°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 54.151176°
W 18.410339°		 ← 178.87 m →
31 989 m²		 S 54.151176°
W 18.407593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448863983154297 y=0.679630279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448863983154297 × 217)
    floor (0.448863983154297 × 131072)
    floor (58833.5)     		tx = 58833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679630279541016 × 217)
    floor (0.679630279541016 × 131072)
    floor (89080.5)     		ty = 89080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58833 / 89080 ti = "17/58833/89080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58833/89080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58833 ÷ 217
    58833 ÷ 131072     		x = 0.448860168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89080 ÷ 217
    89080 ÷ 131072     		y = 0.67962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448860168457031 × 2 - 1) × π
    -0.102279663085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32132104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.3592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1286263646546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32132104} λ = -0.32132104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1286263646546))-π/2
    2×atan(0.323477291222142)-π/2
    2×0.312854045212495-π/2
    0.625708090424989-1.57079632675     		φ = -0.94508824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32132104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.410339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94508824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.149567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58833 KachelY 89080 -0.32132104 -0.94508824 -18.410339 -54.149567
    Oben rechts KachelX + 1 58834 KachelY 89080 -0.32127310 -0.94508824 -18.407593 -54.149567
    Unten links KachelX 58833 KachelY + 1 89081 -0.32132104 -0.94511631 -18.410339 -54.151176
    Unten rechts KachelX + 1 58834 KachelY + 1 89081 -0.32127310 -0.94511631 -18.407593 -54.151176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94508824--0.94511631) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94508824--0.94511631) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32132104--0.32127310) × cos(-0.94508824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585671358488496 × 6371000     		do = 178.879108063244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32132104--0.32127310) × cos(-0.94511631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.585648606158099 × 6371000     		du = 178.872158915896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94508824)-sin(-0.94511631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585671358488496-0.585648606158099)×R²
    abs(-0.32127310--0.32132104)×2.27523303969468e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27523303969468e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27523303969468e-05×40589641000000     		ar = 31989.0396752063m²