Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58832 / 87406
↖ ↑ ↗
← S 51.368351°
W 18.413086°		 ← 190.68 m → S 51.368351°
W 18.410339°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
S 51.370066°
W 18.413086°		 ← 190.67 m →
36 347 m²		 S 51.370066°
W 18.410339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448856353759766 y=0.666858673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448856353759766 × 217)
    floor (0.448856353759766 × 131072)
    floor (58832.5)     		tx = 58832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666858673095703 × 217)
    floor (0.666858673095703 × 131072)
    floor (87406.5)     		ty = 87406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58832 / 87406 ti = "17/58832/87406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58832/87406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58832 ÷ 217
    58832 ÷ 131072     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87406 ÷ 217
    87406 ÷ 131072     		y = 0.666854858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666854858398438 × 2 - 1) × π
    -0.333709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04837999469063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04837999469063))-π/2
    2×atan(0.350505109562054)-π/2
    2×0.33712473474368-π/2
    0.67424946948736-1.57079632675     		φ = -0.89654686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89654686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.368351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58832 KachelY 87406 -0.32136898 -0.89654686 -18.413086 -51.368351
    Oben rechts KachelX + 1 58833 KachelY 87406 -0.32132104 -0.89654686 -18.410339 -51.368351
    Unten links KachelX 58832 KachelY + 1 87407 -0.32136898 -0.89657678 -18.413086 -51.370066
    Unten rechts KachelX + 1 58833 KachelY + 1 87407 -0.32132104 -0.89657678 -18.410339 -51.370066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89654686--0.89657678) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89654686--0.89657678) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32132104) × cos(-0.89654686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624311194290081 × 6371000     		do = 190.680708506427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32132104) × cos(-0.89657678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624287821232578 × 6371000     		du = 190.673569773044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89654686)-sin(-0.89657678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624311194290081-0.624287821232578)×R²
    abs(-0.32132104--0.32136898)×2.33730575028845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33730575028845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33730575028845e-05×40589641000000     		ar = 36346.9372822214m²