Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58830 / 89807
↖ ↑ ↗
← S 55.302575°
W 18.418579°		 ← 173.86 m → S 55.302575°
W 18.415832°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
S 55.304138°
W 18.418579°		 ← 173.85 m →
30 217 m²		 S 55.304138°
W 18.415832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448841094970703 y=0.685176849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448841094970703 × 217)
    floor (0.448841094970703 × 131072)
    floor (58830.5)     		tx = 58830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685176849365234 × 217)
    floor (0.685176849365234 × 131072)
    floor (89807.5)     		ty = 89807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58830 / 89807 ti = "17/58830/89807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58830/89807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58830 ÷ 217
    58830 ÷ 131072     		x = 0.448837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89807 ÷ 217
    89807 ÷ 131072     		y = 0.685173034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448837280273438 × 2 - 1) × π
    -0.102325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32146485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685173034667969 × 2 - 1) × π
    -0.370346069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.16347649067838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32146485} λ = -0.32146485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16347649067838))-π/2
    2×atan(0.312398241298611)-π/2
    2×0.302792160253301-π/2
    0.605584320506601-1.57079632675     		φ = -0.96521201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32146485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.418579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96521201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.302575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58830 KachelY 89807 -0.32146485 -0.96521201 -18.418579 -55.302575
    Oben rechts KachelX + 1 58831 KachelY 89807 -0.32141691 -0.96521201 -18.415832 -55.302575
    Unten links KachelX 58830 KachelY + 1 89808 -0.32146485 -0.96523929 -18.418579 -55.304138
    Unten rechts KachelX + 1 58831 KachelY + 1 89808 -0.32141691 -0.96523929 -18.415832 -55.304138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96521201--0.96523929) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dl = 173.800879999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96521201--0.96523929) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dr = 173.800879999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32146485--0.32141691) × cos(-0.96521201) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.569242580925925 × 6371000     		do = 173.861336518898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32146485--0.32141691) × cos(-0.96523929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56922015192688 × 6371000     		du = 173.854486125267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96521201)-sin(-0.96523929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569242580925925-0.56922015192688)×R²
    abs(-0.32141691--0.32146485)×2.24289990456983e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24289990456983e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24289990456983e-05×40589641000000     		ar = 30216.6579846354m²