Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58829 / 89309
↖ ↑ ↗
← S 54.516299°
W 18.421326°		 ← 177.29 m → S 54.516299°
W 18.418579°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
S 54.517893°
W 18.421326°		 ← 177.28 m →
31 434 m²		 S 54.517893°
W 18.418579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448833465576172 y=0.681377410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448833465576172 × 217)
    floor (0.448833465576172 × 131072)
    floor (58829.5)     		tx = 58829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681377410888672 × 217)
    floor (0.681377410888672 × 131072)
    floor (89309.5)     		ty = 89309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58829 / 89309 ti = "17/58829/89309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58829/89309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58829 ÷ 217
    58829 ÷ 131072     		x = 0.448829650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89309 ÷ 217
    89309 ÷ 131072     		y = 0.681373596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448829650878906 × 2 - 1) × π
    -0.102340698242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32151279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681373596191406 × 2 - 1) × π
    -0.362747192382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.13960391466759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32151279} λ = -0.32151279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13960391466759))-π/2
    2×atan(0.31994572253036)-π/2
    2×0.309653708035948-π/2
    0.619307416071896-1.57079632675     		φ = -0.95148891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32151279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.421326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95148891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.516299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58829 KachelY 89309 -0.32151279 -0.95148891 -18.421326 -54.516299
    Oben rechts KachelX + 1 58830 KachelY 89309 -0.32146485 -0.95148891 -18.418579 -54.516299
    Unten links KachelX 58829 KachelY + 1 89310 -0.32151279 -0.95151674 -18.421326 -54.517893
    Unten rechts KachelX + 1 58830 KachelY + 1 89310 -0.32146485 -0.95151674 -18.418579 -54.517893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95148891--0.95151674) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dl = 177.304929999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95148891--0.95151674) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dr = 177.304929999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32151279--0.32146485) × cos(-0.95148891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580471342679292 × 6371000     		do = 177.2908893865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32151279--0.32146485) × cos(-0.95151674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580448681023274 × 6371000     		du = 177.283967933441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95148891)-sin(-0.95151674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580471342679292-0.580448681023274)×R²
    abs(-0.32146485--0.32151279)×2.26616560177195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26616560177195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26616560177195e-05×40589641000000     		ar = 31433.9351304537m²