Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58829 / 89066
↖ ↑ ↗
← S 54.127041°
W 18.421326°		 ← 178.98 m → S 54.127041°
W 18.418579°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
S 54.128650°
W 18.421326°		 ← 178.97 m →
32 029 m²		 S 54.128650°
W 18.418579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448833465576172 y=0.679523468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448833465576172 × 217)
    floor (0.448833465576172 × 131072)
    floor (58829.5)     		tx = 58829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679523468017578 × 217)
    floor (0.679523468017578 × 131072)
    floor (89066.5)     		ty = 89066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58829 / 89066 ti = "17/58829/89066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58829/89066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58829 ÷ 217
    58829 ÷ 131072     		x = 0.448829650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89066 ÷ 217
    89066 ÷ 131072     		y = 0.679519653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448829650878906 × 2 - 1) × π
    -0.102340698242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32151279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679519653320312 × 2 - 1) × π
    -0.359039306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12795524805992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32151279} λ = -0.32151279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12795524805992))-π/2
    2×atan(0.323694455063261)-π/2
    2×0.31305062555459-π/2
    0.62610125110918-1.57079632675     		φ = -0.94469508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32151279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.421326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94469508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.127041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58829 KachelY 89066 -0.32151279 -0.94469508 -18.421326 -54.127041
    Oben rechts KachelX + 1 58830 KachelY 89066 -0.32146485 -0.94469508 -18.418579 -54.127041
    Unten links KachelX 58829 KachelY + 1 89067 -0.32151279 -0.94472317 -18.421326 -54.128650
    Unten rechts KachelX + 1 58830 KachelY + 1 89067 -0.32146485 -0.94472317 -18.418579 -54.128650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94469508--0.94472317) × R
    2.80899999999251e-05 × 6371000     		dl = 178.961389999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94469508--0.94472317) × R
    2.80899999999251e-05 × 6371000     		dr = 178.961389999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32151279--0.32146485) × cos(-0.94469508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585989988509371 × 6371000     		do = 178.976425872949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32151279--0.32146485) × cos(-0.94472317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585967226437381 × 6371000     		du = 178.969473750267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94469508)-sin(-0.94472317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585989988509371-0.585967226437381)×R²
    abs(-0.32146485--0.32151279)×2.27620719892574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27620719892574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27620719892574e-05×40589641000000     		ar = 32029.2478726987m²