Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58825 / 87477
↖ ↑ ↗
← S 51.489935°
W 18.432312°		 ← 190.13 m → S 51.489935°
W 18.429566°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
S 51.491645°
W 18.432312°		 ← 190.13 m →
36 158 m²		 S 51.491645°
W 18.429566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448802947998047 y=0.667400360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448802947998047 × 217)
    floor (0.448802947998047 × 131072)
    floor (58825.5)     		tx = 58825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667400360107422 × 217)
    floor (0.667400360107422 × 131072)
    floor (87477.5)     		ty = 87477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58825 / 87477 ti = "17/58825/87477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58825/87477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58825 ÷ 217
    58825 ÷ 131072     		x = 0.448799133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87477 ÷ 217
    87477 ÷ 131072     		y = 0.667396545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448799133300781 × 2 - 1) × π
    -0.102401733398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32170453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667396545410156 × 2 - 1) × π
    -0.334793090820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.05178351456365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32170453} λ = -0.32170453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05178351456365))-π/2
    2×atan(0.349314186271239)-π/2
    2×0.336063718871108-π/2
    0.672127437742216-1.57079632675     		φ = -0.89866889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32170453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.432312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89866889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.489935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58825 KachelY 87477 -0.32170453 -0.89866889 -18.432312 -51.489935
    Oben rechts KachelX + 1 58826 KachelY 87477 -0.32165660 -0.89866889 -18.429566 -51.489935
    Unten links KachelX 58825 KachelY + 1 87478 -0.32170453 -0.89869874 -18.432312 -51.491645
    Unten rechts KachelX + 1 58826 KachelY + 1 87478 -0.32165660 -0.89869874 -18.429566 -51.491645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89866889--0.89869874) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89866889--0.89869874) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32170453--0.32165660) × cos(-0.89866889) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.622652111544501 × 6371000     		do = 190.134312764911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32170453--0.32165660) × cos(-0.89869874) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.622628753678384 × 6371000     		du = 190.127180159497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89866889)-sin(-0.89869874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622652111544501-0.622628753678384)×R²
    abs(-0.32165660--0.32170453)×2.33578661170686e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33578661170686e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33578661170686e-05×40589641000000     		ar = 36157.9911261442m²