Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58825 / 87434
↖ ↑ ↗
← S 51.416338°
W 18.432312°		 ← 190.44 m → S 51.416338°
W 18.429566°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
S 51.418051°
W 18.432312°		 ← 190.43 m →
36 265 m²		 S 51.418051°
W 18.429566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448802947998047 y=0.667072296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448802947998047 × 217)
    floor (0.448802947998047 × 131072)
    floor (58825.5)     		tx = 58825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667072296142578 × 217)
    floor (0.667072296142578 × 131072)
    floor (87434.5)     		ty = 87434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58825 / 87434 ti = "17/58825/87434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58825/87434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58825 ÷ 217
    58825 ÷ 131072     		x = 0.448799133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87434 ÷ 217
    87434 ÷ 131072     		y = 0.667068481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448799133300781 × 2 - 1) × π
    -0.102401733398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32170453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667068481445312 × 2 - 1) × π
    -0.334136962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04972222787999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32170453} λ = -0.32170453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04972222787999))-π/2
    2×atan(0.350034965562983)-π/2
    2×0.336705968769147-π/2
    0.673411937538295-1.57079632675     		φ = -0.89738439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32170453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.432312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89738439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.416338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58825 KachelY 87434 -0.32170453 -0.89738439 -18.432312 -51.416338
    Oben rechts KachelX + 1 58826 KachelY 87434 -0.32165660 -0.89738439 -18.429566 -51.416338
    Unten links KachelX 58825 KachelY + 1 87435 -0.32170453 -0.89741428 -18.432312 -51.418051
    Unten rechts KachelX + 1 58826 KachelY + 1 87435 -0.32165660 -0.89741428 -18.429566 -51.418051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89738439--0.89741428) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89738439--0.89741428) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32170453--0.32165660) × cos(-0.89738439) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623656717287675 × 6371000     		do = 190.441081213996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32170453--0.32165660) × cos(-0.89741428) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623633352045624 × 6371000     		du = 190.433946356252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89738439)-sin(-0.89741428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623656717287675-0.623633352045624)×R²
    abs(-0.32165660--0.32170453)×2.33652420510433e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33652420510433e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33652420510433e-05×40589641000000     		ar = 36264.8614982834m²