Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58824 / 89431
↖ ↑ ↗
← S 54.710342°
W 18.435059°		 ← 176.45 m → S 54.710342°
W 18.432312°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
S 54.711929°
W 18.435059°		 ← 176.44 m →
31 127 m²		 S 54.711929°
W 18.432312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448795318603516 y=0.682308197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448795318603516 × 217)
    floor (0.448795318603516 × 131072)
    floor (58824.5)     		tx = 58824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682308197021484 × 217)
    floor (0.682308197021484 × 131072)
    floor (89431.5)     		ty = 89431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58824 / 89431 ti = "17/58824/89431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58824/89431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58824 ÷ 217
    58824 ÷ 131072     		x = 0.44879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89431 ÷ 217
    89431 ÷ 131072     		y = 0.682304382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32175247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682304382324219 × 2 - 1) × π
    -0.364608764648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.14545221642124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32175247} λ = -0.32175247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14545221642124))-π/2
    2×atan(0.318080044242605)-π/2
    2×0.307960360695521-π/2
    0.615920721391042-1.57079632675     		φ = -0.95487561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32175247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.435059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95487561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.710342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58824 KachelY 89431 -0.32175247 -0.95487561 -18.435059 -54.710342
    Oben rechts KachelX + 1 58825 KachelY 89431 -0.32170453 -0.95487561 -18.432312 -54.710342
    Unten links KachelX 58824 KachelY + 1 89432 -0.32175247 -0.95490330 -18.435059 -54.711929
    Unten rechts KachelX + 1 58825 KachelY + 1 89432 -0.32170453 -0.95490330 -18.432312 -54.711929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95487561--0.95490330) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95487561--0.95490330) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32175247--0.32170453) × cos(-0.95487561) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57771029465988 × 6371000     		do = 176.447594252201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32175247--0.32170453) × cos(-0.95490330) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.577687692700602 × 6371000     		du = 176.440691032062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95487561)-sin(-0.95490330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57771029465988-0.577687692700602)×R²
    abs(-0.32170453--0.32175247)×2.2601959278834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2601959278834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2601959278834e-05×40589641000000     		ar = 31127.0387735372m²