Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58822 / 89060
↖ ↑ ↗
← S 54.117383°
W 18.440552°		 ← 178.98 m → S 54.117383°
W 18.437805°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 54.118993°
W 18.440552°		 ← 178.97 m →
32 041 m²		 S 54.118993°
W 18.437805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448780059814453 y=0.679477691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448780059814453 × 217)
    floor (0.448780059814453 × 131072)
    floor (58822.5)     		tx = 58822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679477691650391 × 217)
    floor (0.679477691650391 × 131072)
    floor (89060.5)     		ty = 89060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58822 / 89060 ti = "17/58822/89060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58822/89060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58822 ÷ 217
    58822 ÷ 131072     		x = 0.448776245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89060 ÷ 217
    89060 ÷ 131072     		y = 0.679473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448776245117188 × 2 - 1) × π
    -0.102447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32184834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.35894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1276676266622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32184834} λ = -0.32184834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1276676266622))-π/2
    2×atan(0.323787569905129)-π/2
    2×0.313134907005608-π/2
    0.626269814011216-1.57079632675     		φ = -0.94452651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32184834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.440552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94452651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.117383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58822 KachelY 89060 -0.32184834 -0.94452651 -18.440552 -54.117383
    Oben rechts KachelX + 1 58823 KachelY 89060 -0.32180041 -0.94452651 -18.437805 -54.117383
    Unten links KachelX 58822 KachelY + 1 89061 -0.32184834 -0.94455461 -18.440552 -54.118993
    Unten rechts KachelX + 1 58823 KachelY + 1 89061 -0.32180041 -0.94455461 -18.437805 -54.118993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94452651--0.94455461) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94452651--0.94455461) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32184834--0.32180041) × cos(-0.94452651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586126575537404 × 6371000     		do = 178.980800943159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32184834--0.32180041) × cos(-0.94455461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.586103808138064 × 6371000     		du = 178.973848643879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94452651)-sin(-0.94455461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586126575537404-0.586103808138064)×R²
    abs(-0.32180041--0.32184834)×2.27673993400401e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27673993400401e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27673993400401e-05×40589641000000     		ar = 32041.4334708187m²