Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58819 / 89538
↖ ↑ ↗
← S 54.879767°
W 18.448791°		 ← 175.67 m → S 54.879767°
W 18.446045°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
S 54.881347°
W 18.448791°		 ← 175.67 m →
30 856 m²		 S 54.881347°
W 18.446045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448757171630859 y=0.683124542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448757171630859 × 217)
    floor (0.448757171630859 × 131072)
    floor (58819.5)     		tx = 58819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683124542236328 × 217)
    floor (0.683124542236328 × 131072)
    floor (89538.5)     		ty = 89538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58819 / 89538 ti = "17/58819/89538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58819/89538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58819 ÷ 217
    58819 ÷ 131072     		x = 0.448753356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89538 ÷ 217
    89538 ÷ 131072     		y = 0.683120727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448753356933594 × 2 - 1) × π
    -0.102493286132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32199215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683120727539062 × 2 - 1) × π
    -0.366241455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15058146468059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32199215} λ = -0.32199215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15058146468059))-π/2
    2×atan(0.316452709798342)-π/2
    2×0.306481850290504-π/2
    0.612963700581007-1.57079632675     		φ = -0.95783263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32199215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.448791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95783263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.879767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58819 KachelY 89538 -0.32199215 -0.95783263 -18.448791 -54.879767
    Oben rechts KachelX + 1 58820 KachelY 89538 -0.32194422 -0.95783263 -18.446045 -54.879767
    Unten links KachelX 58819 KachelY + 1 89539 -0.32199215 -0.95786020 -18.448791 -54.881347
    Unten rechts KachelX + 1 58820 KachelY + 1 89539 -0.32194422 -0.95786020 -18.446045 -54.881347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95783263--0.95786020) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95783263--0.95786020) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32199215--0.32194422) × cos(-0.95783263) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575294128859335 × 6371000     		do = 175.672983035472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32199215--0.32194422) × cos(-0.95786020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575271577852515 × 6371000     		du = 175.666096814251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95783263)-sin(-0.95786020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575294128859335-0.575271577852515)×R²
    abs(-0.32194422--0.32199215)×2.25510068199153e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25510068199153e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25510068199153e-05×40589641000000     		ar = 30856.0859154552m²