Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58818 / 89053
↖ ↑ ↗
← S 54.106113°
W 18.451538°		 ← 179.07 m → S 54.106113°
W 18.448791°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 54.107723°
W 18.451538°		 ← 179.06 m →
32 057 m²		 S 54.107723°
W 18.448791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448749542236328 y=0.679424285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448749542236328 × 217)
    floor (0.448749542236328 × 131072)
    floor (58818.5)     		tx = 58818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679424285888672 × 217)
    floor (0.679424285888672 × 131072)
    floor (89053.5)     		ty = 89053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58818 / 89053 ti = "17/58818/89053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58818/89053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58818 ÷ 217
    58818 ÷ 131072     		x = 0.448745727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89053 ÷ 217
    89053 ÷ 131072     		y = 0.679420471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448745727539062 × 2 - 1) × π
    -0.102508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32204009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679420471191406 × 2 - 1) × π
    -0.358840942382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.12733206836486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32204009} λ = -0.32204009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12733206836486))-π/2
    2×atan(0.323896237741964)-π/2
    2×0.313233260191776-π/2
    0.626466520383551-1.57079632675     		φ = -0.94432981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32204009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.451538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94432981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.106113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58818 KachelY 89053 -0.32204009 -0.94432981 -18.451538 -54.106113
    Oben rechts KachelX + 1 58819 KachelY 89053 -0.32199215 -0.94432981 -18.448791 -54.106113
    Unten links KachelX 58818 KachelY + 1 89054 -0.32204009 -0.94435791 -18.451538 -54.107723
    Unten rechts KachelX + 1 58819 KachelY + 1 89054 -0.32199215 -0.94435791 -18.448791 -54.107723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94432981--0.94435791) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94432981--0.94435791) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32204009--0.32199215) × cos(-0.94432981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.586285934373058 × 6371000     		do = 179.066815357572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32204009--0.32199215) × cos(-0.94435791) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.586263170213775 × 6371000     		du = 179.059862597378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94432981)-sin(-0.94435791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586285934373058-0.586263170213775)×R²
    abs(-0.32199215--0.32204009)×2.27641592825956e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27641592825956e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27641592825956e-05×40589641000000     		ar = 32056.8321687654m²