Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58817 / 89282
↖ ↑ ↗
← S 54.473230°
W 18.454285°		 ← 177.48 m → S 54.473230°
W 18.451538°		 →
↑
177.50 m
↓
↑
177.50 m
↓
S 54.474826°
W 18.454285°		 ← 177.47 m →
31 501 m²		 S 54.474826°
W 18.451538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448741912841797 y=0.681171417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448741912841797 × 217)
    floor (0.448741912841797 × 131072)
    floor (58817.5)     		tx = 58817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681171417236328 × 217)
    floor (0.681171417236328 × 131072)
    floor (89282.5)     		ty = 89282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58817 / 89282 ti = "17/58817/89282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58817/89282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58817 ÷ 217
    58817 ÷ 131072     		x = 0.448738098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89282 ÷ 217
    89282 ÷ 131072     		y = 0.681167602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448738098144531 × 2 - 1) × π
    -0.102523803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32208803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681167602539062 × 2 - 1) × π
    -0.362335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13830961837785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32208803} λ = -0.32208803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13830961837785))-π/2
    2×atan(0.320360095194604)-π/2
    2×0.310029556975419-π/2
    0.620059113950838-1.57079632675     		φ = -0.95073721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32208803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.454285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95073721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.473230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58817 KachelY 89282 -0.32208803 -0.95073721 -18.454285 -54.473230
    Oben rechts KachelX + 1 58818 KachelY 89282 -0.32204009 -0.95073721 -18.451538 -54.473230
    Unten links KachelX 58817 KachelY + 1 89283 -0.32208803 -0.95076507 -18.454285 -54.474826
    Unten rechts KachelX + 1 58818 KachelY + 1 89283 -0.32204009 -0.95076507 -18.451538 -54.474826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95073721--0.95076507) × R
    2.78599999999907e-05 × 6371000     		dl = 177.496059999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95073721--0.95076507) × R
    2.78599999999907e-05 × 6371000     		dr = 177.496059999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32208803--0.32204009) × cos(-0.95073721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581083273407771 × 6371000     		do = 177.47778878228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32208803--0.32204009) × cos(-0.95076507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58106059948546 × 6371000     		du = 177.470863582779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95073721)-sin(-0.95076507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581083273407771-0.58106059948546)×R²
    abs(-0.32204009--0.32208803)×2.2673922311256e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2673922311256e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2673922311256e-05×40589641000000     		ar = 31500.9936505517m²