Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58817 / 87482
↖ ↑ ↗
← S 51.498485°
W 18.454285°		 ← 190.14 m → S 51.498485°
W 18.451538°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
S 51.500195°
W 18.454285°		 ← 190.13 m →
36 147 m²		 S 51.500195°
W 18.451538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448741912841797 y=0.667438507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448741912841797 × 217)
    floor (0.448741912841797 × 131072)
    floor (58817.5)     		tx = 58817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667438507080078 × 217)
    floor (0.667438507080078 × 131072)
    floor (87482.5)     		ty = 87482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58817 / 87482 ti = "17/58817/87482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58817/87482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58817 ÷ 217
    58817 ÷ 131072     		x = 0.448738098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87482 ÷ 217
    87482 ÷ 131072     		y = 0.667434692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448738098144531 × 2 - 1) × π
    -0.102523803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32208803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667434692382812 × 2 - 1) × π
    -0.334869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05202319906175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32208803} λ = -0.32208803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05202319906175))-π/2
    2×atan(0.349230471108838)-π/2
    2×0.335989105839034-π/2
    0.671978211678068-1.57079632675     		φ = -0.89881812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32208803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.454285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89881812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.498485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58817 KachelY 87482 -0.32208803 -0.89881812 -18.454285 -51.498485
    Oben rechts KachelX + 1 58818 KachelY 87482 -0.32204009 -0.89881812 -18.451538 -51.498485
    Unten links KachelX 58817 KachelY + 1 87483 -0.32208803 -0.89884796 -18.454285 -51.500195
    Unten rechts KachelX + 1 58818 KachelY + 1 87483 -0.32204009 -0.89884796 -18.451538 -51.500195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89881812--0.89884796) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dl = 190.110639999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89881812--0.89884796) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dr = 190.110639999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32208803--0.32204009) × cos(-0.89881812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622535332318195 × 6371000     		do = 190.138314549526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32208803--0.32204009) × cos(-0.89884796) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62251197950488 × 6371000     		du = 190.131181999238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89881812)-sin(-0.89884796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622535332318195-0.62251197950488)×R²
    abs(-0.32204009--0.32208803)×2.33528133156691e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33528133156691e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33528133156691e-05×40589641000000     		ar = 36146.6386832703m²