Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58815 / 89279
↖ ↑ ↗
← S 54.468441°
W 18.459778°		 ← 177.46 m → S 54.468441°
W 18.457032°		 →
↑
177.50 m
↓
↑
177.50 m
↓
S 54.470038°
W 18.459778°		 ← 177.45 m →
31 498 m²		 S 54.470038°
W 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448726654052734 y=0.681148529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448726654052734 × 217)
    floor (0.448726654052734 × 131072)
    floor (58815.5)     		tx = 58815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681148529052734 × 217)
    floor (0.681148529052734 × 131072)
    floor (89279.5)     		ty = 89279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58815 / 89279 ti = "17/58815/89279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58815/89279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58815 ÷ 217
    58815 ÷ 131072     		x = 0.448722839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89279 ÷ 217
    89279 ÷ 131072     		y = 0.681144714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448722839355469 × 2 - 1) × π
    -0.102554321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32218390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681144714355469 × 2 - 1) × π
    -0.362289428710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.13816580767899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32218390} λ = -0.32218390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13816580767899))-π/2
    2×atan(0.320406169716706)-π/2
    2×0.310071342416252-π/2
    0.620142684832504-1.57079632675     		φ = -0.95065364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32218390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.459778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95065364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.468441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58815 KachelY 89279 -0.32218390 -0.95065364 -18.459778 -54.468441
    Oben rechts KachelX + 1 58816 KachelY 89279 -0.32213597 -0.95065364 -18.457032 -54.468441
    Unten links KachelX 58815 KachelY + 1 89280 -0.32218390 -0.95068150 -18.459778 -54.470038
    Unten rechts KachelX + 1 58816 KachelY + 1 89280 -0.32213597 -0.95068150 -18.457032 -54.470038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95065364--0.95068150) × R
    2.78599999999907e-05 × 6371000     		dl = 177.496059999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95065364--0.95068150) × R
    2.78599999999907e-05 × 6371000     		dr = 177.496059999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32218390--0.32213597) × cos(-0.95065364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581151284330529 × 6371000     		do = 177.461535920386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32218390--0.32213597) × cos(-0.95068150) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.581128611761183 × 6371000     		du = 177.454612578585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95065364)-sin(-0.95068150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581151284330529-0.581128611761183)×R²
    abs(-0.32213597--0.32218390)×2.26725693454055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26725693454055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26725693454055e-05×40589641000000     		ar = 31498.1089963467m²